8. Si M(11/2;7/2), N(8; 6), P(9/2;13/2) у Q(2;4) son los puntos medios de los lados del trapecio ABCD y ||vec(DC)|| = √10, halla los vértices del trapecio.

Este problema requiere que encontremos los vértices del trapecio \(A\), \(B\), \(C\), y \(D\), dado que conocemos los puntos medios de sus lados: \(M\), \(N\), \(P\), y \(Q\), y que también se nos ha dado que la longitud de uno de los lados es \(\| \overrightarrow{DC} \| = \sqrt{10}\).

### Pasos a seguir:

1. **Plantear los puntos medios:**
   - Sabemos que los puntos medios se calculan a partir de los vértices de la siguiente manera:
     \[
     M = \left( \frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2} \right), \quad N = \left( \frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2} \right)
     \]
     \[
     P = \left( \frac{C_x + D_x}{2}, \frac{C_y + D_y}{2} \right), \quad Q = \left( \frac{D_x + A_x}{2}, \frac{D_y + A_y}{2} \right)
     \]
   Los valores de \(M(11/2, 7/2)\), \(N(8, 6)\), \(P(9/2, 13/2)\), y \(Q(2, 4)\) se utilizarán para obtener las ecuaciones correspondientes a los vértices \(A\), \(B\), \(C\), y \(D\).

2. **Sistema de ecuaciones:**
   A partir de las coordenadas de los puntos medios, obtenemos las siguientes ecuaciones:
   - Para \(M(11/2, 7/2)\):
     \[
     \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{11}{2}, \quad \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{7}{2}
     \]
     Esto nos da:
     \[
     A_x + B_x = 11, \quad A_y + B_y = 7
     \]
   - Para \(N(8, 6)\):
     \[
     \frac{B_x + C_x}{2} = 8, \quad \frac{B_y + C_y}{2} = 6
     \]
     Lo que implica:
     \[
     B_x + C_x = 16, \quad B_y + C_y = 12
     \]
   - Para \(P(9/2, 13/2)\):
     \[
     \frac{C_x + D_x}{2} = \frac{9}{2}, \quad \frac{C_y + D_y}{2} = \frac{13}{2}
     \]
     Lo que implica:
     \[
     C_x + D_x = 9, \quad C_y + D_y = 13
     \]
   - Para \(Q(2, 4)\):
     \[
     \frac{D_x + A_x}{2} = 2, \quad \frac{D_y + A_y}{2} = 4
     \]
     Esto da:
     \[
     D_x + A_x = 4, \quad D_y + A_y = 8
     \]

3. **Sistema completo:**
   Ahora tenemos un sistema de ecuaciones para resolver los vértices:
   \[
   \begin{aligned}
   A_x + B_x &= 11 \\
   A_y + B_y &= 7 \\
   B_x + C_x &= 16 \\
   B_y + C_y &= 12 \\
   C_x + D_x &= 9 \\
   C_y + D_y &= 13 \\
   D_x + A_x &= 4 \\
   D_y + A_y &= 8
   \end{aligned}
   \]

4. **Restricción adicional:**
   Sabemos que \(\| \overrightarrow{DC} \| = \sqrt{10}\), lo que significa que la distancia entre \(D\) y \(C\) debe cumplir:
   \[
   \sqrt{(D_x - C_x)^2 + (D_y - C_y)^2} = \sqrt{10}
   \]
   Esto nos da otra ecuación adicional para resolver el sistema.

Con esta información, ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones para obtener las coordenadas de los vértices \(A\), \(B\), \(C\), y \(D\).

Voy a resolver el sistema ahora.He encontrado dos posibles soluciones para los vértices del trapecio \(A\), \(B\), \(C\), y \(D\) en términos de una variable \(D_y\). Los resultados son:

1. Primera solución:
   - \(A_x = -\frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2} - \frac{1}{2}, \quad A_y = 8 - D_y\)
   - \(B_x = \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2} + \frac{23}{2}, \quad B_y = D_y - 1\)
   - \(C_x = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2}, \quad C_y = 13 - D_y\)
   - \(D_x = \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2} + \frac{9}{2}, \quad D_y = D_y\)

2. Segunda solución:
   - \(A_x = \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2} - \frac{1}{2}, \quad A_y = 8 - D_y\)
   - \(B_x = \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2}, \quad B_y = D_y - 1\)
   - \(C_x = \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2} + \frac{9}{2}, \quad C_y = 13 - D_y\)
   - \(D_x = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{-4D_y^2 + 52D_y - 159}}{2}, \quad D_y = D_y\)

El valor de \(D_y\) debe ser numérico, y podremos encontrar las coordenadas exactas de los vértices resolviendo esta ecuación cuadrática. ¿Te gustaría que continúe resolviendo para un valor específico de \(D_y\) o prefieres más detalles?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el valor correcto de \(D_y\)?
2. ¿Qué significan las soluciones con raíces cuadradas en geometría?
3. ¿Qué propiedades tiene un trapecio que determinan la relación entre los vértices y los puntos medios?
4. ¿Cómo se puede verificar si los vértices calculados forman un trapecio?
5. ¿Cómo afecta la longitud \(\| \overrightarrow{DC} \|\) a la forma del trapecio?

### Tip:
Al resolver sistemas con raíces cuadráticas, es útil verificar que las soluciones sean coherentes en el contexto geométrico del problema.

Si M(11/2;7/2), N(8; 6), P(9/2;13/2) y Q(2;4) son los puntos medios de los lados del trapecio ABCD y ||vec(DC)|| = √10, halla los vértices del trapecio.

Solve a complex geometry problem involving the midpoints of a trapezoid's sides and the length of one side. Learn how to calculate the vertices of a trapezoid using systems of equations and the distance formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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