Encontre o valor de x
 para que v=(1,2,1,−1)
 seja um autovetor da matriz
A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢−724272−5−11232−1527172−12x152x+10⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥.

Escolha uma opção:
a. x=−72

b. x=−172

c. x=−152

d. x=−192

e. x=−132

Para encontrar o valor de \( x \) que faz o vetor \( v = (1, 2, 1, -1) \) ser um autovetor da matriz \( A \), precisamos usar a equação característica de autovalores e autovetores:

\[
A \cdot v = \lambda \cdot v
\]

Onde \( \lambda \) é o autovalor correspondente e \( v \) é o autovetor.

A matriz \( A \) é dada por:

\[
A = \begin{bmatrix}
-7 & 24 & 2 & 7 \\
2 & -5 & -11 & 2 \\
3 & 2 & -15 & 27 \\
17 & 2 & -12 & x + 10
\end{bmatrix}
\]

E o vetor \( v = (1, 2, 1, -1) \).

### Passo 1: Multiplicar a matriz \( A \) pelo vetor \( v \)

Multiplicamos cada linha da matriz \( A \) pelos componentes do vetor \( v \). Isso nos dará um novo vetor:

\[
A \cdot v = \begin{bmatrix}
-7 \cdot 1 + 24 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 7 \cdot (-1) \\
2 \cdot 1 + (-5) \cdot 2 + (-11) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \\
3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-15) \cdot 1 + 27 \cdot (-1) \\
17 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-12) \cdot 1 + (x + 10) \cdot (-1)
\end{bmatrix}
\]

Vamos calcular isso para cada componente.

### Passo 2: Resolver a multiplicação para cada linha

#### Primeira linha:

\[
-7 \cdot 1 + 24 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 7 \cdot (-1) = -7 + 48 + 2 - 7 = 36
\]

#### Segunda linha:

\[
2 \cdot 1 + (-5) \cdot 2 + (-11) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 2 - 10 - 11 - 2 = -21
\]

#### Terceira linha:

\[
3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-15) \cdot 1 + 27 \cdot (-1) = 3 + 4 - 15 - 27 = -35
\]

#### Quarta linha:

\[
17 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-12) \cdot 1 + (x + 10) \cdot (-1) = 17 + 4 - 12 - (x + 10) = 9 - x - 10 = -1 - x
\]

O vetor resultante da multiplicação \( A \cdot v \) é:

\[
A \cdot v = (36, -21, -35, -1 - x)
\]

### Passo 3: Comparar com \( \lambda v \)

Sabemos que \( v = (1, 2, 1, -1) \), então se \( v \) é um autovetor, o vetor \( A \cdot v \) deve ser um múltiplo de \( v \). Vamos tentar descobrir o autovalor \( \lambda \).

Comparando o primeiro componente:

\[
A \cdot v = 36, \quad v_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 36 = \lambda \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 36
\]

Agora, comparando os demais componentes com \( \lambda = 36 \):

Para o segundo componente:

\[
-21 = 36 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad -21 = 72
\]

Isso é inconsistente, logo há um erro na comparação direta. A solução depende diretamente do ajuste no valor de \( x \). Testando valores de opções (a) a (e).

Encontre o valor de x para que v=(1,2,1,−1) seja um autovetor da matriz A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢−724272−5−11232−1527172−12x152x+10⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥. Escolha uma opção: a. x=−72 b. x=−172 c. x=−152 d. x=−192 e. x=−132

Discover how to find the value of x for which the vector v=(1,2,1,-1) is an eigenvector of a given 4x4 matrix. This problem involves concepts of linear algebra, including eigenvalues and eigenvectors. Suitable for undergraduate students.

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