hazme 5 problemas resueltos de funcion exponencial 

Aquí te presento cinco problemas resueltos sobre funciones exponenciales, cada uno con su solución detallada:

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### **Problema 1:**
**Dada la función exponencial** \( f(x) = 2^x \), **calcula \( f(3) \).**

**Solución:**

La función dada es \( f(x) = 2^x \). Para encontrar \( f(3) \), sustituimos \( x = 3 \) en la función:

\[
f(3) = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.
\]

**Respuesta:**
\( f(3) = 8 \).

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### **Problema 2:**
**Resuelve la ecuación exponencial** \( 3^{x+1} = 81 \).

**Solución:**

Sabemos que \( 81 = 3^4 \). Entonces podemos igualar las bases:

\[
3^{x+1} = 3^4.
\]

Al tener la misma base, igualamos los exponentes:

\[
x + 1 = 4.
\]

Restamos 1 en ambos lados:

\[
x = 3.
\]

**Respuesta:**
\( x = 3 \).

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### **Problema 3:**
**Halla el valor de \( x \) en la ecuación** \( 5^x = 125 \).

**Solución:**

Sabemos que \( 125 = 5^3 \), entonces podemos reescribir la ecuación como:

\[
5^x = 5^3.
\]

Como las bases son iguales, igualamos los exponentes:

\[
x = 3.
\]

**Respuesta:**
\( x = 3 \).

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### **Problema 4:**
**Calcula la tasa de crecimiento de una población que sigue el modelo exponencial** \( P(t) = 1000 \times 1.05^t \), **donde \( P(t) \) es la población después de \( t \) años. Encuentra la población después de 6 años.**

**Solución:**

La función dada es \( P(t) = 1000 \times 1.05^t \). Para \( t = 6 \), sustituimos en la función:

\[
P(6) = 1000 \times 1.05^6.
\]

Calculamos \( 1.05^6 \):

\[
1.05^6 \approx 1.3401.
\]

Luego:

\[
P(6) = 1000 \times 1.3401 = 1340.1.
\]

**Respuesta:**
La población después de 6 años será aproximadamente 1340 personas.

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### **Problema 5:**
**Resuelve la ecuación exponencial** \( e^{2x} = 7 \).

**Solución:**

Para despejar \( x \), tomamos el logaritmo natural (ln) en ambos lados:

\[
\ln(e^{2x}) = \ln(7).
\]

Dado que \( \ln(e^{2x}) = 2x \), tenemos:

\[
2x = \ln(7).
\]

Dividimos ambos lados entre 2:

\[
x = \frac{\ln(7)}{2}.
\]

Aproximamos \( \ln(7) \approx 1.9459 \):

\[
x = \frac{1.9459}{2} \approx 0.97295.
\]

**Respuesta:**
\( x \approx 0.973 \).

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Si tienes alguna pregunta o necesitas más detalles, no dudes en preguntar.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una ecuación exponencial con logaritmos en base 10?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una función exponencial de crecimiento y de decrecimiento?
3. ¿Cómo afecta la base de la función exponencial al comportamiento de la gráfica?
4. ¿Cómo se interpreta una función exponencial en un contexto de interés compuesto?
5. ¿Cómo se puede linealizar una función exponencial?

**Tip:** Cuando resuelvas ecuaciones exponenciales, tomar logaritmos en ambos lados puede simplificar considerablemente el problema.

hazme 5 problemas resueltos de funcion exponencial

Explore five solved exponential function problems with detailed solutions. Learn how to solve exponential equations, calculate growth rates, and apply logarithms. These examples cover exponential growth models and key algebraic concepts, suitable for high school students in Grades 10-12.

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