Soit Y une variable aléatoire positive avec 0<P(X=0)<1. Peut-on dire que l'espérance de Y multiplié par l'indicatrice de Y>0, notée E[Y1{Y>0}] soit égale à l'espérance de Y, notée E[Y] ? Si oui, pourquoi ?

Oui, on peut dire que l'espérance de \( Y \) multipliée par l'indicatrice \( 1_{\{Y > 0\}} \), notée \( \mathbb{E}[Y 1_{\{Y > 0\}}] \), est égale à l'espérance de \( Y \), notée \( \mathbb{E}[Y] \). Voici pourquoi :

L'indicatrice \( 1_{\{Y > 0\}} \) est une fonction qui vaut 1 si \( Y > 0 \) et 0 sinon. Par conséquent, \( Y 1_{\{Y > 0\}} \) est égale à \( Y \) lorsque \( Y > 0 \) et égale à 0 lorsque \( Y = 0 \). Donc :

\[
Y 1_{\{Y > 0\}} =
\begin{cases}
Y, & \text{si } Y > 0, \\
0, & \text{si } Y = 0.
\end{cases}
\]

Cela signifie que \( Y 1_{\{Y > 0\}} \) est simplement une façon de restreindre \( Y \) à ses valeurs strictement positives, sans changer ses valeurs lorsqu'elles sont positives. Cependant, comme l'espérance \( \mathbb{E}[Y] \) prend en compte toute la distribution de \( Y \), y compris les cas où \( Y = 0 \), cela n'affecte pas l'espérance. Formellement :

\[
\mathbb{E}[Y 1_{\{Y > 0\}}] = \mathbb{E}[Y \mid Y > 0] \cdot P(Y > 0) = \mathbb{E}[Y],
\]

parce que \( \mathbb{E}[Y] \) tient déjà compte de la probabilité que \( Y = 0 \) et intègre correctement sur toutes les valeurs de \( Y \), qu'elles soient nulles ou positives.

### Conclusion :
L'égalité \( \mathbb{E}[Y 1_{\{Y > 0\}}] = \mathbb{E}[Y] \) est vraie, car l'indicatrice \( 1_{\{Y > 0\}} \) ne modifie pas l'espérance de \( Y \) étant donné que \( Y \) est déjà intégrée sur l'ensemble de ses valeurs possibles, y compris \( Y = 0 \).

### Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment interpréter l'espérance conditionnelle \( \mathbb{E}[Y \mid Y > 0] \) ?
2. Quelles seraient les implications si \( P(Y = 0) = 1 \) ?
3. Comment calculer l'espérance pour des variables aléatoires discrètes par rapport à des variables continues ?
4. Quel est le lien entre indicatrices et espérance dans d'autres contextes statistiques ?
5. Pourquoi l'espérance prend-elle en compte les valeurs nulles ?

### Astuce :
Dans les calculs d'espérance, les indicatrices permettent souvent de simplifier les conditions sur les valeurs de la variable aléatoire, ce qui aide à se concentrer sur des sous-ensembles spécifiques de l'espace de probabilité.

Explore whether the expected value of a positive random variable Y multiplied by the indicator function for Y > 0 is equal to the expected value of Y. Understand the role of indicator functions and expected value in probability theory with this detailed explanation.

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