Dadas las rectas 𝐿1:8𝑥 −6𝑦 = 24  y   𝐿2:9𝑥 −6𝑦 = −18 , determine la ecuación de la recta 
que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2, y es perpendicular a la recta 𝐿2. 

Para resolver el problema, primero vamos a seguir los siguientes pasos:

### 1. Encontrar el punto de intersección de las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \)

Las ecuaciones de las rectas son:

\[
L_1: 8x - 6y = 24
\]
\[
L_2: 9x - 6y = -18
\]

Resolvemos este sistema de ecuaciones de dos variables. Para simplificar el proceso, restamos las ecuaciones:

\[
(9x - 6y) - (8x - 6y) = -18 - 24
\]
\[
x = -42
\]

Sustituyendo \( x = -42 \) en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la ecuación de \( L_1 \):

\[
8(-42) - 6y = 24
\]
\[
-336 - 6y = 24
\]
\[
-6y = 24 + 336
\]
\[
-6y = 360
\]
\[
y = -60
\]

Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) es \( (-42, -60) \).

### 2. Hallar la pendiente de la recta \( L_2 \)

Reescribimos la ecuación \( L_2: 9x - 6y = -18 \) en forma pendiente-intersección \( y = mx + b \):

\[
9x - 6y = -18
\]
\[
-6y = -9x - 18
\]
\[
y = \frac{3}{2}x + 3
\]

La pendiente de \( L_2 \) es \( m_2 = \frac{3}{2} \).

### 3. Hallar la pendiente de la recta perpendicular a \( L_2 \)

La pendiente de una recta perpendicular a otra es el negativo del inverso de la pendiente de la primera recta. Por lo tanto, la pendiente de la recta perpendicular a \( L_2 \), que llamaremos \( m_{\perp} \), es:

\[
m_{\perp} = -\frac{1}{m_2} = -\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}
\]

### 4. Ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto de intersección

La ecuación de una recta en forma punto-pendiente es:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \( (x_1, y_1) = (-42, -60) \) es el punto de intersección y \( m = -\frac{2}{3} \) es la pendiente. Sustituyendo estos valores:

\[
y - (-60) = -\frac{2}{3}(x - (-42))
\]
\[
y + 60 = -\frac{2}{3}(x + 42)
\]
\[
y + 60 = -\frac{2}{3}x - 28
\]
\[
y = -\frac{2}{3}x - 28 - 60
\]
\[
y = -\frac{2}{3}x - 88
\]

### Respuesta final:

La ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de \( L_1 \) y \( L_2 \), y es perpendicular a \( L_2 \), es:

\[
y = -\frac{2}{3}x - 88
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones por sustitución o eliminación?
2. ¿Qué significa la forma pendiente-intersección de una recta?
3. ¿Cómo se determina si dos rectas son perpendiculares?
4. ¿Qué son las ecuaciones de rectas en forma general y punto-pendiente?
5. ¿Cómo se encuentran las pendientes de rectas paralelas?

**Tip:** Para determinar si dos rectas son perpendiculares, verifica si el producto de sus pendientes es igual a \(-1\).

Dadas las rectas 𝐿1:8𝑥 −6𝑦 = 24 y 𝐿2:9𝑥 −6𝑦 = −18, determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2, y es perpendicular a la recta 𝐿2.

This guide provides a step-by-step solution to determine the equation of a line perpendicular to L2 and passing through the intersection of two lines, L1: 8x - 6y = 24 and L2: 9x - 6y = -18. Explore core geometry concepts, including finding the intersection of lines, working with slopes, and applying the point-slope form of a line. Suitable for high school students.

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