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Determina la distancia del punto P a la recta A

Para calcular la distancia de un punto \( P(x_1, y_1) \) a una recta dada en la forma \( y = mx + b \), utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta en su forma general \( Ax + By + C = 0 \).

1. Primero, convertimos la ecuación de la recta \( y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3} \) a su forma estándar \( Ax + By + C = 0 \):

   \[
   \frac{4}{3}x - y - \frac{7}{3} = 0
   \]

   Multiplicamos todo por 3 para eliminar los denominadores:

   \[
   4x - 3y - 7 = 0
   \]

   Ahora, tenemos \( A = 4 \), \( B = -3 \), y \( C = -7 \).

2. El punto \( P(-1, -6) \) tiene \( x_1 = -1 \) y \( y_1 = -6 \).

3. Usamos la fórmula de distancia:

   \[
   d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
   \]

   Sustituyendo los valores:

   \[
   d = \frac{|4(-1) - 3(-6) - 7|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}
   \]

   Simplificamos el numerador:

   \[
   4(-1) = -4, \quad -3(-6) = 18, \quad -7 = -7
   \]

   Entonces:

   \[
   | -4 + 18 - 7 | = |7|
   \]

   Y el denominador:

   \[
   \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
   \]

4. Finalmente, calculamos la distancia:

   \[
   d = \frac{7}{5} = 1.4
   \]

La distancia del punto \( P(-1, -6) \) a la recta \( y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3} \) es \( \boxed{1.4} \).

¿Te gustaría más detalles sobre este cálculo o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la ecuación estándar de una recta a partir de su forma pendiente-intersección?
2. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la distancia entre un punto y una recta?
3. ¿Cómo se puede hallar la distancia de un punto a una recta en el espacio tridimensional?
4. ¿Qué sucede si el punto está sobre la recta? ¿Cómo cambia la distancia?
5. ¿Cuáles son las aplicaciones prácticas de calcular la distancia de un punto a una línea en la vida real?

**Tip:** Recuerda siempre convertir la ecuación de la línea a la forma estándar \( Ax + By + C = 0 \) para aplicar la fórmula de distancia correctamente.

Learn how to calculate the distance from point P(-1, -6) to the line y = 4/3x - 7/3 using the distance formula and converting the line to its standard form. This detailed solution is ideal for students in Grades 9-12 studying geometry and algebra.

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