Atualmente, os  filmes são exibidos através de uma pequena câmera que projeta a imagem na tela, como mostra a figura. A frente da câmera assim como a tela de cinema tem formato retangular. Em uma determinada sala, a proporção entre a tela de exibição e a frente da câmera de projeção é de 200:3. Se a área da tela é igual a 352 m² e a diferença entre suas dimensões é de 6 m, as dimensões da frente da câmera são:




a) 15 cm x 12 cm


b) 20 cm x 15 cm


c) 22 cm x 16 cm


d) 30 cm x 21 cm


e) 33 cm x 24 cm

Para resolver o problema, primeiro vamos determinar as dimensões da tela de exibição com as informações fornecidas:

1. A área da tela é de 352 m².
2. A diferença entre suas dimensões é de 6 metros.

Vamos denotar as dimensões da tela como \( x \) e \( y \), onde \( x > y \). Portanto, temos:
\[ x - y = 6 \]

A área da tela é dada por:
\[ x \cdot y = 352 \]

Agora temos um sistema de equações:
\[ x - y = 6 \]
\[ x \cdot y = 352 \]

Podemos resolver esse sistema isolando \( x \) na primeira equação:
\[ x = y + 6 \]

Substituindo essa expressão na segunda equação:
\[ (y + 6) \cdot y = 352 \]
\[ y^2 + 6y = 352 \]
\[ y^2 + 6y - 352 = 0 \]

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Onde \( a = 1 \), \( b = 6 \) e \( c = -352 \):
\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-352)}}{2 \cdot 1} \]
\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1408}}{2} \]
\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{1444}}{2} \]
\[ y = \frac{-6 \pm 38}{2} \]

Duas soluções possíveis:
\[ y = \frac{32}{2} = 16 \]
\[ y = \frac{-44}{2} = -22 \] (Descartamos, pois uma dimensão negativa não faz sentido)

Assim, \( y = 16 \) e, substituindo na equação \( x = y + 6 \):
\[ x = 16 + 6 = 22 \]

Portanto, as dimensões da tela são 22 metros e 16 metros.

Agora, vamos determinar as dimensões da frente da câmera de projeção. A proporção entre a tela e a câmera é de 200:3. Isso significa que cada dimensão da tela é 200/3 vezes maior que a correspondente dimensão da frente da câmera.

Vamos denotar as dimensões da frente da câmera como \( a \) e \( b \) (onde \( a > b \)). As proporções nos dão:
\[ \frac{22}{a} = \frac{200}{3} \]
\[ \frac{16}{b} = \frac{200}{3} \]

Resolvendo para \( a \) e \( b \):
\[ a = \frac{3 \cdot 22}{200} \]
\[ a = \frac{66}{200} \]
\[ a = 0,33 \, m = 33 \, cm \]

\[ b = \frac{3 \cdot 16}{200} \]
\[ b = \frac{48}{200} \]
\[ b = 0,24 \, m = 24 \, cm \]

Portanto, as dimensões da frente da câmera são 33 cm por 24 cm.

A resposta correta é:
\[ \boxed{33 \, \text{cm} \times 24 \, \text{cm}} \]

Quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 8 perguntas relacionadas ao conteúdo:

1. Como converter a área de uma forma retangular para determinar suas dimensões?
2. Como resolver equações quadráticas usando a fórmula de Bhaskara?
3. O que significa uma proporção entre duas dimensões?
4. Como converter metros para centímetros?
5. Por que descartamos a solução negativa ao resolver uma equação quadrática?
6. Como calcular a proporção inversa ao resolver problemas de dimensão?
7. Qual é a importância de verificar unidades em problemas de proporção?
8. Como aplicar conceitos de proporção e área em problemas práticos?

Dica: Ao resolver problemas de proporção, sempre verifique se as unidades estão consistentes para evitar erros de cálculo.

Learn how to calculate the dimensions of a projection camera based on the proportion and area of a cinema screen. This problem involves geometric concepts and proportion calculations, with step-by-step solution provided. Suitable for high school students.

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