Determinar si el conjunto dado esta acotado superiormente o inferiormente o acotado. Segun sea el caso dar una cota superior o inferior o ambas :    S = {
n−1
n
|n = 1, 2, 3, . . .}

El conjunto dado es:

\[
S = \left\{ \frac{n-1}{n} \ \middle| \ n = 1, 2, 3, \dots \right\}
\]

Esto significa que los elementos de \( S \) son las fracciones \( \frac{n-1}{n} \) para cada número natural \( n \geq 1 \).

### Paso 1: Simplificación de los elementos del conjunto

Podemos simplificar la expresión \( \frac{n-1}{n} \) como:

\[
\frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}
\]

Por lo tanto, los elementos de \( S \) tienen la forma \( 1 - \frac{1}{n} \) para \( n \geq 1 \).

- Cuando \( n = 1 \), \( \frac{n-1}{n} = 0 \).
- A medida que \( n \) crece, \( \frac{n-1}{n} \) se aproxima a 1, pero nunca llega a 1.

### Paso 2: Determinar las cotas del conjunto

#### Cota inferior:
- El elemento más pequeño del conjunto es \( \frac{1-1}{1} = 0 \). 
- A medida que \( n \) aumenta, los elementos son mayores que 0.
- Por lo tanto, **0 es una cota inferior** del conjunto.

#### Cota superior:
- Los elementos \( 1 - \frac{1}{n} \) se acercan a 1 conforme \( n \) aumenta, pero nunca alcanzan el valor 1.
- El valor de \( \frac{n-1}{n} \) está siempre estrictamente menor que 1.
- Por lo tanto, **1 es una cota superior** del conjunto.

### Conclusión:
El conjunto \( S \) está **acotado superiormente** y **acotado inferiormente**:

- **Cota inferior**: \( 0 \)
- **Cota superior**: \( 1 \)

Esto significa que el conjunto \( S \) es **acotado**.

---

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Qué significa que un conjunto esté acotado superiormente o inferiormente?
2. ¿Cómo se determina si un conjunto tiene una cota superior o inferior?
3. ¿Qué sucede con el límite de \( \frac{n-1}{n} \) cuando \( n \to \infty \)?
4. ¿Cómo podrías graficar este conjunto en la recta numérica?
5. ¿Cuáles son las implicaciones de que un conjunto esté acotado para el análisis matemático?

**Tip**: Un conjunto está acotado si existen números reales que limitan sus valores por encima y por debajo.

Determinar si el conjunto dado esta acotado superiormente o inferiormente o acotado. Segun sea el caso dar una cota superior o inferior o ambas : S = { (n−1) / n | n = 1, 2, 3, . . . }

Understand how to determine if the set S = {(n−1)/n | n = 1, 2, 3, ...} is bounded above, below, or both. Explore the step-by-step analysis involving limits and identifying upper and lower bounds. Suitable for high school students studying set theory and sequences.

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