 Sejam P(1,2 − 3) e Q(x + 1,y,z + 5) pontos do espaço euclidiano.
 Determine x,y e z para que o segmento −→
 PQ represente o vetor nulo
 do R3.

Para que o vetor \(\overrightarrow{PQ}\) seja o vetor nulo no espaço tridimensional \(\mathbb{R}^3\), os dois pontos \(P(1, 2, -3)\) e \(Q(x + 1, y, z + 5)\) devem coincidir, ou seja, \(P = Q\).

O vetor \(\overrightarrow{PQ}\) é definido como a diferença entre as coordenadas de \(Q\) e \(P\):

\[
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (x + 1 - 1, y - 2, z + 5 + 3)
\]
\[
\overrightarrow{PQ} = (x, y - 2, z + 8)
\]

Para que o vetor seja nulo, cada uma dessas componentes deve ser igual a zero:

1. \(x = 0\)
2. \(y - 2 = 0 \implies y = 2\)
3. \(z + 8 = 0 \implies z = -8\)

Portanto, os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) que tornam o vetor \(\overrightarrow{PQ}\) o vetor nulo são:
\[
x = 0, \quad y = 2, \quad z = -8
\]

Você quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:
1. O que é o vetor nulo no espaço vetorial?
2. Como se define a norma de um vetor no espaço \(\mathbb{R}^3\)?
3. Qual é a diferença entre um ponto e um vetor no espaço tridimensional?
4. Como determinar a direção de um vetor no espaço?
5. Quais são as condições para que dois vetores sejam paralelos?

**Dica:** Para que dois pontos no espaço coincidam, suas coordenadas devem ser exatamente iguais.

Sejam P(1,2 − 3) e Q(x + 1,y,z + 5) pontos do espaço euclidiano. Determine x,y e z para que o segmento −→ PQ represente o vetor nulo do R3.

Learn how to determine the values of x, y, and z such that the segment PQ represents the null vector in Euclidean space. Explore the calculation steps, vector concepts, and key theorems in this problem. Suitable for students in Grades 10-12.

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