Necesito que todas las funciones tengan sus cálculos detallados y completos 

Vamos a resolver las cuatro funciones paso a paso, detallando todos los cálculos necesarios para encontrar los máximos y mínimos.

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### 1. Función \( y = \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 - 12x \)

**Paso 1: Derivar la función**

\[ y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 - 12x\right) \]
\[ y' = \frac{3}{5} \cdot 5x^4 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 12 \cdot 1 \]
\[ y' = 3x^4 - 2x^2 - 12 \]

**Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar puntos críticos**

\[ 3x^4 - 2x^2 - 12 = 0 \]

Para resolver esta ecuación, hacemos un cambio de variable, \( z = x^2 \):

\[ 3z^2 - 2z - 12 = 0 \]

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
donde \( a = 3 \), \( b = -2 \), y \( c = -12 \).

\[ z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-12)}}{2(3)} \]
\[ z = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 144}}{6} \]
\[ z = \frac{2 \pm \sqrt{148}}{6} \]
\[ z = \frac{2 \pm 2\sqrt{37}}{6} \]
\[ z = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{3} \]

Por lo tanto, \( z_1 = \frac{1 + \sqrt{37}}{3} \) y \( z_2 = \frac{1 - \sqrt{37}}{3} \).

Dado que \( z = x^2 \), tomamos los valores positivos para \( x \):

\[ x_1 = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{37}}{3}} \quad \text{y} \quad x_2 = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{37}}{3}} \text{ (si es positivo)} \]

**Paso 3: Segunda derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos**

Derivamos nuevamente:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left(3x^4 - 2x^2 - 12\right) \]
\[ y'' = 12x^3 - 4x \]

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos para determinar si son máximos o mínimos. Si \( y''(x) > 0 \), es un mínimo; si \( y''(x) < 0 \), es un máximo.

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### 2. Función \( f(x) = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 \)

**Paso 1: Derivar la función**

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(2x^3 - 7x^2 + 7x - 2\right) \]
\[ f'(x) = 6x^2 - 14x + 7 \]

**Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar puntos críticos**

\[ 6x^2 - 14x + 7 = 0 \]

Usamos la fórmula general para resolver esta ecuación cuadrática:

\[ x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(6)(7)}}{2(6)} \]
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 168}}{12} \]
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{28}}{12} \]
\[ x = \frac{14 \pm 2\sqrt{7}}{12} \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{6} \]

Los puntos críticos son:

\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{7}}{6} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{7}}{6} \]

**Paso 3: Segunda derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos**

Derivamos nuevamente:

\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left(6x^2 - 14x + 7\right) \]
\[ f''(x) = 12x - 14 \]

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos para determinar si son máximos o mínimos.

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### 3. Función \( y = x^{1/3} \)

**Paso 1: Derivar la función**

\[ y' = \frac{d}{dx} \left(x^{1/3}\right) \]
\[ y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

**Paso 2: Análisis de la derivada**

Esta derivada no se anula para ningún valor real de \( x \), pero la derivada es indefinida en \( x = 0 \), lo que indica un posible punto crítico. Analizamos el comportamiento de la función en torno a \( x = 0 \).

- Para \( x > 0 \), la derivada es positiva, lo que indica que la función está aumentando.
- Para \( x < 0 \), la derivada es negativa, lo que indica que la función está disminuyendo.

En \( x = 0 \), hay un **mínimo**.

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### 4. Función \( y = 4 - 3x^2 \)

**Paso 1: Derivar la función**

\[ y' = \frac{d}{dx} \left(4 - 3x^2\right) \]
\[ y' = -6x \]

**Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar puntos críticos**

\[ -6x = 0 \]

El único punto crítico es \( x = 0 \).

**Paso 3: Segunda derivada para determinar la naturaleza del punto crítico**

Derivamos nuevamente:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left(-6x\right) \]
\[ y'' = -6 \]

Dado que la segunda derivada es negativa, esto indica que hay un **máximo** en \( x = 0 \).

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Si necesitas mayor detalle en algún paso específico, no dudes en preguntar.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el cambio de variable a la resolución de ecuaciones en funciones polinómicas?
2. ¿Qué técnicas alternativas existen para resolver derivadas complejas?
3. ¿Cómo se puede interpretar gráficamente un punto de inflexión?
4. ¿Qué importancia tiene el signo de la segunda derivada en la determinación de máximos y mínimos?
5. ¿Cómo se puede aplicar el análisis de máximos y mínimos en problemas del mundo real?

### Tip:
Al analizar el comportamiento de funciones con potencias fraccionarias o raíces, es importante considerar el dominio completo de la función para evitar errores en la interpretación de los máximos y mínimos.

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