Tenemos que encontrar la derivada de \( z \) con respecto a \( x \), dado que:

\[
z = x^y \quad \text{y} \quad y = \sin(x)
\]

### Paso 1: Expresar \( z \) en función de \( x \)
Dado que \( y = \sin(x) \), podemos reescribir \( z \) como:

\[
z = x^{\sin(x)}
\]

### Paso 2: Tomar logaritmos en ambos lados
Tomamos el logaritmo natural en ambos lados para facilitar la derivación:

\[
\ln(z) = \ln\left(x^{\sin(x)}\right)
\]

Usamos la propiedad de logaritmos \( \ln(a^b) = b\ln(a) \):

\[
\ln(z) = \sin(x) \ln(x)
\]

### Paso 3: Derivar implícitamente
Ahora derivamos ambos lados con respecto a \( x \). Usamos la regla de la cadena en el lado izquierdo:

\[
\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin(x) \ln(x) \right)
\]

### Paso 4: Derivar el lado derecho
Usamos la regla del producto para derivar \( \sin(x) \ln(x) \):

\[
\frac{d}{dx} \left( \sin(x) \ln(x) \right) = \cos(x) \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x}
\]

### Paso 5: Resolver para \( \frac{dz}{dx} \)
Multiplicamos ambos lados por \( z = x^{\sin(x)} \) para despejar \( \frac{dz}{dx} \):

\[
\frac{dz}{dx} = z \left( \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)
\]

Finalmente, sustituimos \( z = x^{\sin(x)} \):

\[
\frac{dz}{dx} = x^{\sin(x)} \left( \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)
\]

Esta es la derivada de \( z = x^{\sin(x)} \) con respecto a \( x \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo aplicar la regla del producto en derivadas complejas?
2. ¿Qué propiedades de logaritmos son útiles para derivar potencias?
3. ¿Cómo se derivan funciones exponenciales con exponentes dependientes de \( x \)?
4. ¿Qué es la derivación implícita y cuándo se usa?
5. ¿Cómo resolver derivadas que involucran funciones trigonométricas y logarítmicas?

### Tip: Siempre verifica las condiciones de las funciones (como \( \ln(x) \), que requiere \( x > 0 \)) antes de derivar.

Learn how to differentiate z = x^sin(x) using implicit and logarithmic differentiation techniques. This solution involves key calculus concepts like the chain rule, product rule, and properties of logarithms. Suitable for undergraduate students.

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