Muestre que un conjunto finito en Rn es cerrado.

Para demostrar que un conjunto finito en \(\mathbb{R}^n\) es cerrado, podemos proceder de la siguiente manera:

### Definiciones y Conceptos Preliminares
- **Conjunto Cerrado:** Un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límite, es decir, si toda sucesión convergente de puntos en el conjunto tiene su límite también en el conjunto.
- **Conjunto Finito:** Un conjunto finito tiene un número limitado de elementos.

### Demostración

Sea \(A \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto finito, es decir, \(A = \{a_1, a_2, \dots, a_k\}\) donde \(a_i \in \mathbb{R}^n\) para cada \(i\) y \(k\) es un número natural.

1. **Convergencia de Sucesiones en un Conjunto Finito:**
   - Consideremos una sucesión \((x_n)\) de puntos en \(A\). Dado que \(A\) es finito, los elementos de la sucesión \((x_n)\) solo pueden tomar valores en \(\{a_1, a_2, \dots, a_k\}\).
   - Debido a que la sucesión toma valores en un conjunto finito, solo puede haber un número finito de valores distintos que la sucesión puede asumir. Esto significa que, eventualmente, la sucesión tendrá que repetir un valor, es decir, habrá un valor que se repita infinitas veces (por el principio de la paloma).
   - Sea \(a_j\) uno de esos valores que se repite infinitamente en la sucesión. Entonces, una subsecuencia de \((x_n)\) convergerá a \(a_j\). Como \(a_j \in A\), el límite de la subsecuencia está en \(A\).

2. **Puntos Límite:**
   - Para que un conjunto sea cerrado, debe contener todos sus puntos límite. En este caso, si \((x_n)\) es una sucesión de puntos en \(A\) que converge a un límite \(L\), hemos visto que \(L\) debe ser uno de los puntos \(a_1, a_2, \dots, a_k\), ya que \(A\) es finito.
   - Esto implica que el límite \(L\) pertenece a \(A\).

### Conclusión
Dado que \(A\) contiene todos sus puntos límite, se concluye que \(A\) es un **conjunto cerrado** en \(\mathbb{R}^n\).

¿Te gustaría profundizar más en algún punto o tienes otras preguntas?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se muestra que la unión finita de conjuntos cerrados es cerrada?
2. ¿Qué sucede si un conjunto infinito en \(\mathbb{R}^n\) tiene solo un número finito de puntos límite?
3. ¿Cómo se demuestra que un conjunto infinito puede ser cerrado?
4. ¿Qué significa que un conjunto es compacto en \(\mathbb{R}^n\)?
5. ¿Cómo se relacionan los conceptos de conjunto compacto y conjunto cerrado en \(\mathbb{R}^n\)?

### Consejo:
Recuerda que en espacios métricos, como \(\mathbb{R}^n\), los conjuntos cerrados son precisamente aquellos que contienen todos sus puntos límite.

Descubre cómo demostrar que un conjunto finito en \(\mathbb{R}^n\) es cerrado mediante una explicación detallada. Este problema aborda conceptos clave de topología, conjuntos cerrados y sucesiones convergentes en el contexto de espacios métricos como \(\mathbb{R}^n\). Adecuado para estudiantes y entusiastas de matemáticas avanzadas.

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