Si dos ángulos ∠BAC y ∠DAE verifican que las semirectas AB es opuesta a AD y AC es opuesta a AE, se dice que son ángulos opuestos por el vértice. Usando esta definición demuestre que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.


Los **ángulos opuestos por el vértice** son dos ángulos formados cuando dos líneas rectas se intersecan. Según la definición, dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados son semirrectas opuestas.

### Planteamiento:
Sea la intersección de dos rectas en un punto \( O \). Se forman los ángulos \(\angle BAC\) y \(\angle DAE\), donde las semirrectas \(AB\) y \(AD\) son opuestas, y las semirrectas \(AC\) y \(AE\) son opuestas. Queremos demostrar que \(\angle BAC \cong \angle DAE\).

### Demostración:

1. **Definición de los ángulos opuestos por el vértice:**
   Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son las semirrectas opuestas a los lados del otro. En este caso, tenemos que \(AB\) es opuesta a \(AD\) y \(AC\) es opuesta a \(AE\), lo que implica que los ángulos \(\angle BAC\) y \(\angle DAE\) son opuestos por el vértice.

2. **Formación de los ángulos en la intersección de dos rectas:**
   Cuando dos rectas se intersecan, se forman cuatro ángulos alrededor del punto de intersección \(O\). Cada par de ángulos opuestos por el vértice comparte los mismos lados, pero en dirección contraria.

3. **Sumatoria de los ángulos:**
   La suma de los ángulos alrededor de un punto de intersección de dos rectas es siempre \(360^\circ\). Esto se debe a que los ángulos forman una vuelta completa alrededor del punto.

4. **Relación entre los ángulos adyacentes:**
   Dado que dos ángulos adyacentes, como \(\angle BAC\) y \(\angle CAE\), forman un ángulo llano (es decir, suman \(180^\circ\)), podemos escribir:

   \[
   \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ
   \]
   \[
   \angle DAE + \angle CAE = 180^\circ
   \]

5. **Igualación de ángulos:**
   De las dos ecuaciones anteriores, restando \(\angle CAE\) de ambos lados en cada una, obtenemos:

   \[
   \angle BAC = \angle DAE
   \]

6. **Conclusión:**
   Por lo tanto, se demuestra que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir, \(\angle BAC \cong \angle DAE\).

### Resumen:
Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos por el vértice son siempre congruentes porque la suma de los ángulos alrededor de un punto es \(360^\circ\), y los ángulos opuestos por el vértice comparten lados que son prolongaciones uno del otro.

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se identifican los ángulos adyacentes en una figura?
2. ¿Qué sucede cuando tres líneas se intersecan en un punto?
3. ¿Cómo se relacionan los ángulos formados por una transversal con dos rectas paralelas?
4. ¿Cómo se utilizan los ángulos opuestos por el vértice en problemas de geometría?
5. ¿Cuál es la diferencia entre ángulos suplementarios y opuestos por el vértice?

### Tip:
Los ángulos opuestos por el vértice siempre son iguales, sin importar las longitudes de las líneas involucradas.

Aprende cómo demostrar que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes mediante una explicación detallada y una demostración paso a paso. Este problema aborda conceptos clave de geometría, incluyendo la suma de ángulos alrededor de un punto y la congruencia de ángulos. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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