∫_0^(1⁄2)▒〖(2x-x)〗^(2 )  ∛(x^5 ) dx calcular la integral definida

Vamos a calcular la siguiente integral definida:

\[
I = \int_0^{\frac{1}{2}} \left(2x - x\right)^2 \sqrt[3]{x^5} \, dx
\]

Primero simplificamos el integrando:

\[
2x - x = x
\]

Entonces, la integral se convierte en:

\[
I = \int_0^{\frac{1}{2}} x^2 \cdot \sqrt[3]{x^5} \, dx
\]

Sabemos que:

\[
\sqrt[3]{x^5} = x^{\frac{5}{3}}
\]

Ahora reescribimos el integrando:

\[
x^2 \cdot x^{\frac{5}{3}} = x^{2 + \frac{5}{3}} = x^{\frac{11}{3}}
\]

Así que la integral se reduce a:

\[
I = \int_0^{\frac{1}{2}} x^{\frac{11}{3}} \, dx
\]

Aplicamos la regla de integración para potencias de \(x\), que dice que:

\[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\]

En este caso, \(n = \frac{11}{3}\), entonces:

\[
I = \frac{x^{\frac{14}{3}}}{\frac{14}{3}} \bigg|_0^{\frac{1}{2}}
\]

Simplificamos:

\[
I = \frac{3}{14} x^{\frac{14}{3}} \bigg|_0^{\frac{1}{2}}
\]

Evaluamos en los límites:

\[
I = \frac{3}{14} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{14}{3}} - 0 \right)
\]

\[
I = \frac{3}{14} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{14}{3}} = \frac{3}{14} \cdot 2^{-\frac{14}{3}}
\]

Finalmente, la integral es:

\[
I = \frac{3}{14 \cdot 2^{\frac{14}{3}}}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre la evaluación numérica o explicación adicional?

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué otros métodos se pueden usar para integrar funciones más complejas?
2. ¿Cómo se trabaja con integrales que contienen raíces cúbicas?
3. ¿Cómo se puede verificar una integral utilizando software?
4. ¿Cómo se manejan integrales con diferentes límites de integración?
5. ¿Qué sucede si el exponente de \(x\) fuera fraccionario negativo?

**Tip:** Siempre verifica los límites de integración al final, ya que errores pequeños pueden cambiar el resultado considerablemente.

Learn how to solve the definite integral ∫_0^(1/2) (2x - x)^2 ∛(x^5) dx by simplifying the expression and applying the power rule for integration. This step-by-step guide covers polynomial simplification, exponent rules, and the final evaluation.

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