Le **rotationnel** (ou "curl" en anglais) d'un champ vectoriel \(\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)\) en coordonnées cartésiennes est défini comme :

\[
\text{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}
\]

où \(\nabla\) est l'opérateur nabla, c'est-à-dire \(\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\), et \(\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)\).

Dans ton cas, le champ vectoriel est donné par \(\mathbf{F}(x, y, z) = (1, 1, -1)\), ce qui signifie que :

\[
F_1(x, y, z) = 1, \quad F_2(x, y, z) = 1, \quad F_3(x, y, z) = -1
\]

Le rotationnel est donc :

\[
\text{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times (1, 1, -1)
\]

Pour le calculer, on utilise le déterminant suivant :

\[
\text{rot}(\mathbf{F}) = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}
\]

En développant ce déterminant :

\[
\text{rot}(\mathbf{F}) = \mathbf{i} \left( \frac{\partial (-1)}{\partial y} - \frac{\partial (1)}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial (-1)}{\partial x} - \frac{\partial (1)}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial (1)}{\partial x} - \frac{\partial (1)}{\partial y} \right)
\]

Étant donné que chaque composante de \(\mathbf{F}\) est constante, toutes les dérivées partielles sont nulles :

\[
\frac{\partial (1)}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial (1)}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial (-1)}{\partial z} = 0, \quad etc.
\]

Ainsi, le rotationnel est nul :

\[
\text{rot}(\mathbf{F}) = (0, 0, 0)
\]

**Conclusion** : Le rotationnel du champ vectoriel \(\mathbf{F}(x, y, z) = (1, 1, -1)\) est nul, c'est-à-dire \(\nabla \times (1, 1, -1) = (0, 0, 0)\).

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

### Questions relatives :
1. Qu'est-ce que l'interprétation physique du rotationnel nul ?
2. Comment calculer le rotationnel en coordonnées polaires ?
3. Quel est le lien entre rotationnel et divergence d'un champ vectoriel ?
4. Comment le rotationnel est-il utilisé en mécanique des fluides ?
5. Quelle est la différence entre le gradient, le rotationnel et la divergence d'un champ vectoriel ?

### Tip :
Le rotationnel d'un champ vectoriel constant est toujours nul, car ses composantes ne varient pas dans l'espace.

Explore how to compute the curl of the vector field f(x, y, z) = (1, 1, -1) using vector calculus. This detailed step-by-step solution demonstrates key concepts such as the nabla operator and determinant calculation. Suitable for undergraduate students.

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