¿Cuántos números de 5 cifras distintas pueden construirse con los dígitos pares {0,2,4,6,8}?
¿Y si se pueden repetir las cifras? ¿Si además deben ser mayores que 26.000?


### Problema 1: Sin repetir cifras
Queremos formar números de 5 cifras usando los dígitos pares {0, 2, 4, 6, 8}, sin repetir cifras.

1. **Condiciones:**
   - Los dígitos deben ser diferentes.
   - Un número de 5 cifras no puede comenzar con 0 (el primer dígito no puede ser 0).

2. **Selección de los dígitos:**
   - Para el **primer dígito** (no puede ser 0), tenemos las opciones {2, 4, 6, 8}. Esto nos da **4 opciones**.
   - Para el **segundo dígito**, ya que puede incluir el 0, pero no repetir el primero, nos quedan 4 opciones.
   - Para el **tercer dígito**, hemos usado dos cifras, por lo que tenemos 3 opciones.
   - Para el **cuarto dígito**, tenemos 2 opciones restantes.
   - Para el **quinto dígito**, solo nos queda 1 opción.

3. **Cálculo del número de combinaciones:**
   \[
   4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96
   \]

### Problema 2: Permitiendo repetir cifras
Si se permite la repetición de cifras, el problema cambia.

1. **Selección de los dígitos:**
   - Para el **primer dígito** (sin ser 0), tenemos 4 opciones {2, 4, 6, 8}.
   - Para cada uno de los otros **cuatro dígitos**, podemos elegir entre cualquiera de los 5 dígitos disponibles (0, 2, 4, 6, 8).

2. **Cálculo del número de combinaciones:**
   \[
   4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 2500
   \]

### Problema 3: Mayores que 26.000
Para que el número sea mayor que 26.000, el **primer dígito** debe ser 2, 4, 6 u 8.

#### Caso 1: Sin repetir cifras
Ya hemos considerado este caso, porque en este caso ya no se puede usar el 0 en el primer dígito, y cualquier número que comience con {2, 4, 6, 8} ya es mayor que 26.000. El resultado sigue siendo **96**.

#### Caso 2: Permitiendo repetir cifras
- El **primer dígito** sigue teniendo 4 opciones {2, 4, 6, 8}.
- Los otros **cuatro dígitos** siguen teniendo 5 opciones.

El cálculo sigue siendo el mismo: **2500** números.

### Resumen final:
- **Sin repetir cifras**: 96 números.
- **Con repeticiones**: 2500 números.
- **Mayores que 26.000**:
  - **Sin repetir cifras**: 96 números.
  - **Con repeticiones**: 2500 números.

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan los números con restricciones adicionales?
2. ¿Qué pasa si exigimos que los números sean menores que 80.000?
3. ¿Cómo cambiarían las combinaciones si se permite el uso de dígitos impares?
4. ¿Cuántos números de 6 cifras podrían formarse sin repeticiones?
5. ¿Qué efecto tendría si el número debe ser divisible por 2?

### Tip:
Cuando calculas combinaciones con restricciones, separar cada condición por pasos ayuda a evitar errores.

¿Cuántos números de 5 cifras distintas pueden construirse con los dígitos pares {0,2,4,6,8}? ¿Y si se pueden repetir las cifras? ¿Si además deben ser mayores que 26.000?

Explore how to calculate the number of distinct 5-digit numbers that can be formed using even digits {0,2,4,6,8} with and without repetition. This problem involves combinatorics, permutations, and restrictions on digit placement. Suitable for students in Grades 9-12.

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