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Je vais traiter les exercices présents sur la feuille que vous avez fournie.

### Exercice 1 (10 points)

**1. Calculer le tableau des fréquences marginales \( F \), les tableaux des profils lignes et profils colonnes.**

Le tableau de contingence donné est :

| Paramètres/Individus | X | Y | Z |
|----------------------|---|---|---|
| A                    | 1 | 0 | 0 |
| B                    | 1 | 0 | 1 |
| C                    | 0 | 1 | 1 |

- **Fréquences marginales** : Vous devez calculer la somme des occurrences pour chaque colonne (X, Y, Z) et chaque ligne (A, B, C) afin de créer le tableau des fréquences marginales.

- **Profils lignes** : Chaque valeur dans une ligne est divisée par la somme des valeurs dans cette ligne.

- **Profils colonnes** : Chaque valeur dans une colonne est divisée par la somme des valeurs dans cette colonne.

**2. Dans l'espace \(\mathbb{R}^3\), on représente un nuage \(N(I)\) de points \(M_i\) avec \(i = 1,2,3,4\) de coordonnées suivantes des axes normalisés.**

Vous devez d'abord définir les points \(M_i\) et répondre aux questions sur les coordonnées et les calculs liés au test de khi-deux (\(\chi^2\)) entre les différentes paires de points.

- (a) Définir les points \(M_i\) et expliquer leurs coordonnées.
- (b) Calculer la distance de khi-deux entre les différentes paires.
  
**3. Déterminer la matrice des variances-covariances \(V\) et déterminer ses valeurs propres.**

Cela implique de créer la matrice de covariance à partir du tableau des points et de trouver ses valeurs propres.

**4. Donner la variabilité totale du nuage projeté \(N(I)\).**
   
Il s'agit de calculer la variabilité totale à partir de la matrice de covariance et de son spectre (valeurs propres).

**5. Calculer la variabilité expliquée par la projection du nuage \(C(I)\).**

On calcule ici la part de variabilité expliquée par chaque composante principale.

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### Exercice 2 (10 points)

On vous demande d'effectuer une analyse en composantes principales (ACP) sur un jeu de données de poids et taille pour 6 individus.

| Individus | Poids | Taille |
|-----------|-------|--------|
| I1        | 20    | 15     |
| I2        | 5     | 2      |
| I3        | 12    | 7      |
| I4        | 14    | 13     |
| I5        | 10    | 9      |
| I6        | 16    | 20     |

**1. Donner le tableau des données centrées \(X\) associé à \(\bar{X}\).**

Cela implique de centrer les données, c'est-à-dire soustraire la moyenne de chaque variable à chaque observation.

**2. Déterminer la matrice des variances-covariances \(V\).**

La matrice \(V\) est obtenue en calculant la covariance entre chaque paire de variables (poids et taille).

**3. Déterminer la métrique \(M = D_{1/2} \times \text{diag}(\sigma_j^2)\)** et calculer la matrice \(VM\).**

Cela implique de normaliser les données en utilisant la variance, puis de calculer \(VM\).

**4. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(VM\). On note \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) les valeurs propres.**

Les valeurs propres sont obtenues en résolvant l'équation caractéristique associée à la matrice \(VM\).

**5. Calculer la qualité de représentation par rapport au premier axe.**

La qualité de représentation est donnée par le rapport des valeurs propres pour le premier axe.

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Je peux vous détailler la procédure pour chaque partie. Avez-vous besoin d'une explication approfondie pour l'une de ces étapes ?

Voici 5 questions relatives pour approfondir :
1. Comment calcule-t-on les fréquences marginales à partir d'un tableau de contingence ?
2. Quelle est la méthode pour calculer une distance khi-deux entre des points ?
3. Comment déduit-on les valeurs propres d'une matrice de covariance ?
4. En quoi consiste l'analyse en composantes principales dans le cadre d'un jeu de données comme celui des poids et tailles ?
5. Quelles sont les applications des profils lignes et colonnes dans l'analyse de données ?

**Tip** : Lors de la détermination des valeurs propres d'une matrice, vérifiez toujours que la somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice pour garantir l'exactitude du calcul.

Solve data analysis problems involving contingency tables, chi-square tests, and principal component analysis (PCA). This problem includes finding marginal frequencies, computing a chi-square distance matrix, determining a variance-covariance matrix, and performing eigenvalue decomposition for a dataset of individual weights and heights.

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