El gas que se produce en una planta de gasificación de carbón consta de 60% mol de CO y el balance de H 2 ;
sale de la planta a 150°C y 2,000 psia. El gas se expande a través de una turbina, y el gas de salida de la turbina
se alimenta a una caldera a 100°C y 1 atm (abs) a razón de 15,000 ft 3 /min. Calcule la velocidad de flujo de

explica paso a paso detalladamente, y utulizando las unidades correspondientes

entrada a la turbina en ft3 /min usando la regla de Kay ¿Qué porcentaje de error se produciría al aplicar la
ecuación de estado de los gases ideales en la entrada de la turbina?.
Compuesto Tc (°K) Pc (atm)
CO 133 34.5
H 2 33.3 12.8




Para resolver este problema, se requiere calcular la velocidad de flujo volumétrico de entrada a la turbina usando la regla de Kay y luego compararla con la obtenida utilizando la ecuación de estado de los gases ideales para determinar el porcentaje de error.

### Paso 1: Definir los datos iniciales
- **Composición del gas:**  
  - CO: 60% mol  
  - H₂: 40% mol (ya que el balance es H₂)

- **Condiciones de entrada a la turbina:**
  - Temperatura: \( T_1 = 150°C = 423.15 \, K \)
  - Presión: \( P_1 = 2000 \, \text{psia} = 136.08 \, \text{atm} \) (1 atm = 14.7 psia)

- **Condiciones de salida de la turbina (alimentación a la caldera):**
  - Temperatura: \( T_2 = 100°C = 373.15 \, K \)
  - Presión: \( P_2 = 1 \, \text{atm} \)
  - Velocidad de flujo volumétrico: \( \dot{V}_2 = 15000 \, \text{ft}^3/\text{min} \)

- **Propiedades críticas de los componentes:**
  - CO: \( T_c = 133 \, K \), \( P_c = 34.5 \, \text{atm} \)
  - H₂: \( T_c = 33.3 \, K \), \( P_c = 12.8 \, \text{atm} \)

### Paso 2: Determinar las propiedades críticas del gas usando la regla de Kay
La regla de Kay se utiliza para obtener las propiedades pseudo-críticas del gas (una mezcla de gases). Se requiere calcular las propiedades críticas aparentes de la mezcla:

1. **Temperatura crítica aparente (\(T_c^{mix}\)):**

\[
T_c^{mix} = y_{CO} \cdot T_c^{CO} + y_{H_2} \cdot T_c^{H_2}
\]

\[
T_c^{mix} = (0.60 \cdot 133) + (0.40 \cdot 33.3) = 79.98 \, K
\]

2. **Presión crítica aparente (\(P_c^{mix}\)):**

\[
P_c^{mix} = y_{CO} \cdot P_c^{CO} + y_{H_2} \cdot P_c^{H_2}
\]

\[
P_c^{mix} = (0.60 \cdot 34.5) + (0.40 \cdot 12.8) = 26.62 \, \text{atm}
\]

### Paso 3: Determinar la pseudo-reducción de temperatura y presión
Las temperaturas y presiones reducidas se calculan de la siguiente manera:

\[
T_r = \frac{T_1}{T_c^{mix}} = \frac{423.15 \, K}{79.98 \, K} = 5.29
\]

\[
P_r = \frac{P_1}{P_c^{mix}} = \frac{136.08 \, \text{atm}}{26.62 \, \text{atm}} = 5.11
\]

### Paso 4: Determinar el factor de compresibilidad usando la regla de Kay
Se puede usar el gráfico de factor de compresibilidad (o tablas de Z) para obtener el factor de compresibilidad \(Z_1\) en función de \(T_r\) y \(P_r\).

Vamos a suponer \( Z_1 \approx 0.78 \) (esto puede variar ligeramente dependiendo de la precisión de las tablas o gráficos utilizados).

### Paso 5: Calcular el flujo volumétrico de entrada usando la ecuación de estado de los gases reales

Utilizamos la ecuación de estado de los gases reales:

\[
PV = ZnRT
\]

Donde:
- \( R \) es la constante de gases (para el gas, \(R = 0.0821 \, \frac{L \cdot atm}{mol \cdot K}\))
- \( T \) es la temperatura absoluta en Kelvin
- \( P \) es la presión
- \( V \) es el volumen

Calculamos el volumen molar a la entrada de la turbina:

\[
\dot{V}_1 = \frac{nRT_1}{P_1 \cdot Z_1}
\]

Sin embargo, necesitamos encontrar la relación entre los volúmenes en la entrada y salida:

\[
\frac{\dot{V}_1}{\dot{V}_2} = \frac{P_2 \cdot T_1 \cdot Z_2}{P_1 \cdot T_2 \cdot Z_1}
\]

Dado que a la salida de la turbina se considera el comportamiento del gas ideal \( Z_2 \approx 1 \):

\[
\dot{V}_1 = \dot{V}_2 \cdot \frac{P_1 \cdot T_2 \cdot Z_1}{P_2 \cdot T_1 \cdot 1}
\]

\[
\dot{V}_1 = 15000 \, \text{ft}^3/\text{min} \cdot \frac{136.08 \, \text{atm} \cdot 373.15 \, K \cdot 0.78}{1 \, \text{atm} \cdot 423.15 \, K}
\]

\[
\dot{V}_1 = 15000 \cdot \frac{136.08 \cdot 373.15 \cdot 0.78}{423.15} = 1412074 \, \text{ft}^3/\text{min}
\]

\(\dot{V}_1 \approx 14120.74 \, \text{ft}^3/\text{min}\)

### Paso 6: Determinar el error con la ecuación de gases ideales
Usando la ecuación de estado de los gases ideales en la entrada de la turbina (\( Z_1 = 1 \)):

\[
\dot{V}_1(ideal) = 15000 \, \text{ft}^3/\text{min} \cdot \frac{136.08 \cdot 373.15}{423.15} \approx 18067.58 \, \text{ft}^3/\text{min}
\]

### Paso 7: Calcular el porcentaje de error

\[
\text{Error (\%)} = \frac{\dot{V}_1(ideal) - \dot{V}_1(real)}{\dot{V}_1(real)} \times 100
\]

\[
\text{Error (\%)} = \frac{18067.58 - 14120.74}{14120.74} \times 100 \approx 27.9\%
\]

### Conclusión
El flujo volumétrico de entrada a la turbina usando la regla de Kay es de aproximadamente \( 14120.74 \, \text{ft}^3/\text{min} \). Al aplicar la ecuación de estado de los gases ideales, se introduce un error de aproximadamente 27.9%.

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¿Te gustaría que profundice en algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para calcular el factor de compresibilidad?
2. ¿Cómo afecta el factor de compresibilidad a otras propiedades termodinámicas?
3. ¿Qué diferencia hay entre la regla de Kay y otras reglas para mezclas de gases?
4. ¿Cómo influye la composición del gas en el resultado final del flujo volumétrico?
5. ¿Cómo se comporta la mezcla si se cambia la temperatura de entrada a la turbina?

### Tip:  
Siempre que trabajes con mezclas de gases, es importante verificar la aplicabilidad de la ecuación de estado ideal, ya que a altas presiones y bajas temperaturas los errores pueden ser significativos.

Learn how to calculate the volumetric flow rate of gas entering a turbine using Kay's rule and assess the percentage error introduced by applying the ideal gas equation. This problem involves thermodynamic principles, ideal gas law, and calculations based on gas composition and conditions. Suitable for undergraduate-level studies.

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