Considere un punto P con coordenadas p = (15, −10 , 25) mm en el marco global x, y,z. Si ocurre 
una rotación de -60º con respecto a x, seguida de una rotación de 75º alrededor de z; seguida 
de una rotación de 45º alrededor de y. 
a. Calcule la rotación resultante 
b. Indique las coordenadas de P en el marco 2

Para resolver este problema, necesitamos calcular la rotación resultante y luego aplicar esta rotación a las coordenadas del punto \( P \) para obtener sus nuevas coordenadas en el marco de referencia transformado.

### Parte a: Calcular la Rotación Resultante

El proceso para encontrar la rotación resultante implica multiplicar las matrices de rotación correspondientes a cada uno de los ángulos de rotación dados.

1. **Rotación alrededor del eje \(x\)** (Ángulo: \(-60^\circ\)):
   \[
   R_x(-60^\circ) = \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & \cos(-60^\circ) & -\sin(-60^\circ) \\
   0 & \sin(-60^\circ) & \cos(-60^\circ)
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
   0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
   \end{pmatrix}
   \]

2. **Rotación alrededor del eje \(z\)** (Ángulo: \(75^\circ\)):
   \[
   R_z(75^\circ) = \begin{pmatrix}
   \cos(75^\circ) & -\sin(75^\circ) & 0 \\
   \sin(75^\circ) & \cos(75^\circ) & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} & 0 \\
   \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   \]

3. **Rotación alrededor del eje \(y\)** (Ángulo: \(45^\circ\)):
   \[
   R_y(45^\circ) = \begin{pmatrix}
   \cos(45^\circ) & 0 & \sin(45^\circ) \\
   0 & 1 & 0 \\
   -\sin(45^\circ) & 0 & \cos(45^\circ)
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
   0 & 1 & 0 \\
   -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2}
   \end{pmatrix}
   \]

La matriz de rotación resultante \( R \) se obtiene multiplicando las matrices en el orden dado:

\[
R = R_y(45^\circ) \cdot R_z(75^\circ) \cdot R_x(-60^\circ)
\]

### Parte b: Calcular las Coordenadas del Punto \( P \) en el Marco 2

Una vez obtenida la matriz de rotación \( R \), se multiplican las coordenadas originales de \( P \) por esta matriz para obtener las nuevas coordenadas:

\[
P' = R \cdot P
\]

Voy a realizar los cálculos ahora.### Resultados:

#### a. Rotación Resultante
La matriz de rotación resultante \( R \) es:

\[
R = \begin{pmatrix}
0.1830 & -0.9539 & -0.2380 \\
0.9659 & 0.1294 & 0.2241 \\
-0.1830 & -0.2709 & 0.9451
\end{pmatrix}
\]

#### b. Coordenadas del Punto \( P \) en el Marco 2
Las nuevas coordenadas del punto \( P \) después de aplicar la rotación son aproximadamente:

\[
P' = \begin{pmatrix}
6.34 \text{ mm} \\
18.80 \text{ mm} \\
23.59 \text{ mm}
\end{pmatrix}
\]

¿Necesitas más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las matrices de rotación para diferentes ejes?
2. ¿Qué ocurriría si cambiamos el orden de las rotaciones?
3. ¿Cómo afectan las rotaciones compuestas la orientación de un objeto en el espacio?
4. ¿Cuál es la diferencia entre rotaciones activas y pasivas en transformaciones?
5. ¿Cómo se puede descomponer una matriz de rotación en sus componentes angulares?

**Tip:** El orden de las rotaciones es crucial en las transformaciones compuestas;

Learn how to calculate rotations in 3D space using matrix algebra. This problem involves rotating a point around different axes and determining its new coordinates. Suitable for advanced mathematics students and professionals.

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