
Hallar el perímetro del paralelogramo con estos vértices.
(4, 3),(-2, 3 ),(2, -2) ,(-4, -2) 
Dar una respuesta exacta (no una aproximación decimal).
Simplificar la respuesta tanto como sea posible.

Para hallar el perímetro del paralelogramo con los vértices dados, necesitamos calcular las longitudes de sus lados utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Luego sumaremos las longitudes de los lados opuestos para obtener el perímetro.

### Vértices del paralelogramo:
- \( A = (4, 3) \)
- \( B = (-2, 3) \)
- \( C = (2, -2) \)
- \( D = (-4, -2) \)

### Paso 1: Calcular la distancia entre los lados opuestos.

1. **Distancia entre \( A \) y \( B \) (un lado):**
   \[
   AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6
   \]

2. **Distancia entre \( B \) y \( D \) (otro lado):**
   \[
   BD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
   \]

3. **Distancia entre \( C \) y \( D \) (lado opuesto a \( AB \)):**
   \[
   CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6
   \]

4. **Distancia entre \( A \) y \( C \) (lado opuesto a \( BD \)):**
   \[
   AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
   \]

### Paso 2: Hallar el perímetro.

El perímetro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de todos sus lados:
\[
P = AB + BD + CD + AC = 6 + \sqrt{29} + 6 + \sqrt{29}
\]
\[
P = 12 + 2\sqrt{29}
\]

### Respuesta:
El perímetro exacto del paralelogramo es \( \mathbf{12 + 2\sqrt{29}} \).

¿Te gustaría más detalles sobre el cálculo o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifica la expresión \( 12 + 2\sqrt{29} \)?
2. ¿Cómo se calcula la longitud de una diagonal en un paralelogramo?
3. ¿Qué otras propiedades tiene un paralelogramo?
4. ¿Cómo se verifica si un cuadrilátero es un paralelogramo usando coordenadas?
5. ¿Cómo cambia el perímetro si los vértices se trasladan en el plano?

**Tip**: La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano es esencial para resolver problemas geométricos. Asegúrate de familiarizarte con la fórmula y su uso en diferentes contextos.

Learn how to calculate the exact perimeter of a parallelogram using the distance formula and coordinate geometry principles. This problem involves finding the lengths of sides and summing them for a precise answer. Suitable for high school students.

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