In der Produktion eines Reifenherstellers fallen Kosten von 8€ pro Reifen an. Beim Verkauf na den Händler erhält der Reifenhersteller 24€ pro Stück. Der Händler macht Mängel in der Produktion zu hundert Prozent ausfindig. Bei 25% aller Reifen treten Produktionsmängel auf. Mängelbehaftete Reifen nimmt der Hersteller zurück und erstattet den vollen Kaufpreis. Durch den Rücktransport der mängelbehafteten Reifen entstehen dem hersteller zusätzliche Auslage in Höhe von 4€ pro Stück. 

a) Bestimmen Sie den Gewinn G; den der Reifenhersteller auf lange Sicht im Mittel pro Reifen erwarten kann.

Um den erwarteten Gewinn \( G \) des Reifenherstellers pro Reifen zu berechnen, betrachten wir die Einnahmen und Ausgaben für beide Fälle: wenn ein Reifen mängelfrei ist und wenn ein Reifen einen Mangel aufweist.

**1. Wahrscheinlichkeiten:**
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Reifen mängelfrei ist: \( P(\text{mängelfrei}) = 0{,}75 \).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Reifen einen Mangel aufweist: \( P(\text{mangelhaft}) = 0{,}25 \).

**2. Einnahmen und Ausgaben:**
- **Mängelfreier Reifen:**
  - Einnahmen: 24€ pro Reifen.
  - Produktionskosten: 8€ pro Reifen.
  - Gewinn bei einem mängelfreien Reifen: \( G_{\text{mängelfrei}} = 24\,€ - 8\,€ = 16\,€ \).

- **Mangelhafter Reifen:**
  - Der Hersteller muss den Reifen zurücknehmen und den Kaufpreis erstatten.
  - Kosten:
    - Produktionskosten: 8€.
    - Rückerstattung des Kaufpreises: 24€.
    - Rücktransportkosten: 4€.
  - Gesamtkosten für einen mangelhaften Reifen: \( K_{\text{mangelhaft}} = 8\,€ + 24\,€ + 4\,€ = 36\,€ \).
  - Da der Reifen nicht verkauft wird, gibt es keine Einnahmen. Der Verlust bei einem mangelhaften Reifen beträgt also \( G_{\text{mangelhaft}} = -36\,€ \).

**3. Erwarteter Gewinn:**
- **Erwarteter Gewinn pro Reifen:**
  - \( G = P(\text{mängelfrei}) \cdot G_{\text{mängelfrei}} + P(\text{mangelhaft}) \cdot G_{\text{mangelhaft}} \).
  - \( G = 0{,}75 \cdot 16\,€ + 0{,}25 \cdot (-36\,€) \).
  - \( G = 12\,€ - 9\,€ \).
  - \( G = 3\,€ \).

**Ergebnis:**
Der Reifenhersteller kann auf lange Sicht im Mittel einen Gewinn von **3€ pro Reifen** erwarten.

Möchten Sie eine detailliertere Erklärung oder haben Sie noch Fragen? 

Hier sind einige weitere Fragen, die Sie interessieren könnten:

1. Wie würde sich der Gewinn ändern, wenn die Produktionskosten steigen würden?
2. Was passiert mit dem Gewinn, wenn die Wahrscheinlichkeit für mangelhafte Reifen auf 30% steigt?
3. Wie wirken sich höhere Rücktransportkosten auf den erwarteten Gewinn aus?
4. Was wäre der Gewinn, wenn der Hersteller den Verkaufspreis auf 26€ erhöht?
5. Wie würde der Gewinn pro Reifen aussehen, wenn es eine andere Garantiepolitik gäbe?

**Tipp:** Es ist immer wichtig, die Rückgabe- und Garantiepolitik zu berücksichtigen, da sie die Gewinnmargen erheblich beeinflussen kann.

Learn how to calculate the long-term expected profit per tire for a tire manufacturer. This problem involves analyzing probabilities of defective tires, production costs, and revenue to determine the average profit. Suitable for advanced high school students or those interested in financial mathematics.

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