Un golfista golpea la pelota con una velocidad inicial de 160 ft/s,

a un ángulo de 25° con la horizontal. Si el terreno de juego desciende con

un ángulo promedio de 5°, determine la distancia d entre el golfista y el punto

B donde la pelota toca el terreno por primera vez.

Este problema implica un movimiento parabólico en un plano inclinado. Para resolverlo, descompondremos el movimiento en componentes y utilizaremos las ecuaciones de cinemática para determinar la distancia horizontal \(d\) que recorre la pelota antes de tocar el suelo.

### Datos del problema:
- Velocidad inicial: \( v_0 = 160 \, \text{ft/s} \)
- Ángulo de lanzamiento: \( \theta = 25^\circ \)
- Ángulo de inclinación del terreno: \( \alpha = 5^\circ \)
- Aceleración debida a la gravedad: \( g = 32.2 \, \text{ft/s}^2 \) (valor estándar en unidades imperiales)

### Paso 1: Descomposición de la velocidad inicial
Las componentes de la velocidad inicial en las direcciones horizontal y vertical son:
\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 160 \cos(25^\circ) \approx 145.08 \, \text{ft/s}
\]
\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 160 \sin(25^\circ) \approx 67.57 \, \text{ft/s}
\]

### Paso 2: Describir la trayectoria de la pelota
La ecuación de la trayectoria para el movimiento parabólico en el plano inclinado es:
\[
y = x \tan(\theta) - \frac{g x^2}{2 v_{0x}^2} \cdot \sec^2(\theta)
\]
Aquí, \(y\) es la altura en función de \(x\), la distancia horizontal.

### Paso 3: Ecuación de la pendiente del terreno
El terreno desciende con un ángulo de \( \alpha = 5^\circ \). La ecuación de la línea del terreno es:
\[
y_{\text{terreno}} = x \tan(\alpha)
\]

### Paso 4: Igualar las dos ecuaciones
Para encontrar el punto de intersección, igualamos la altura de la trayectoria de la pelota con la altura del terreno:
\[
x \tan(\theta) - \frac{g x^2}{2 v_{0x}^2} \sec^2(\theta) = x \tan(\alpha)
\]

Reorganizando para resolver \(x\):
\[
x (\tan(\theta) - \tan(\alpha)) = \frac{g x^2}{2 v_{0x}^2} \sec^2(\theta)
\]
\[
x \left(\tan(25^\circ) - \tan(5^\circ)\right) = \frac{32.2 x^2}{2 (145.08)^2} \sec^2(25^\circ)
\]

Simplificando:
\[
x = \frac{2 (145.08)^2 \left(\tan(25^\circ) - \tan(5^\circ)\right)}{32.2 \sec^2(25^\circ)}
\]

### Paso 5: Calcular la distancia \(d\)
Vamos a calcular el valor de \(x\):
\[
x \approx \frac{2 (145.08)^2 \left(0.4663 - 0.0875\right)}{32.2 \times 1.1035} 
\]
\[
x \approx \frac{2 (145.08)^2 \times 0.3788}{35.53} 
\]
\[
x \approx \frac{42133.4 \times 0.3788}{35.53}
\]
\[
x \approx \frac{15952.08}{35.53} \approx 449.1 \, \text{ft}
\]

### Resultado:
La distancia horizontal \(d\) entre el golfista y el punto B donde la pelota toca el terreno por primera vez es aproximadamente **449.1 pies**.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afectaría un ángulo de inclinación mayor en la distancia?
2. ¿Qué pasaría si la velocidad inicial fuera mayor?
3. ¿Cómo cambiaría la respuesta si el ángulo de lanzamiento fuera más pequeño?
4. ¿Cómo influye el valor de \(g\) en la distancia calculada?
5. ¿Qué sucede si el terreno es horizontal?

**Tip**: Para problemas de movimiento en plano inclinado, siempre descompón las fuerzas y las velocidades en componentes paralelas y perpendiculares al plano.

Learn how to calculate the horizontal distance at which a golf ball lands on an inclined plane. This problem involves projectile motion, trigonometry, and kinematics. Solve step-by-step with detailed formulas and explanations.

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