Dada la siguiente función:

 \frac{x^{3}-2 \cdot x^{2}-5 \cdot x+6}{x^{3}-7 \cdot x+6} 
confirme que:

Pregunta 6Seleccione una:

a.
En

x= -3 existe una Asíntota Vertical

x= 1 existe un Punto Vacío

x= 2 existe una asíntota vertical


b.
En

x= -3 existe una Asíntota Vertical

x= 1 la función es contínua

x= 2 existe una asíntota vertical


c.
En

x= -3 no existe una Asíntota Vertical

x= 1 existe un Punto Vacío

x= 2 no existe una asíntota vertical

Para analizar la función dada:

\[
f(x) = \frac{x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6}{x^{3} - 7x + 6},
\]

debemos estudiar los puntos donde el denominador es cero, ya que estos son los posibles puntos de asíntotas verticales o discontinuidades.

### Paso 1: Encontrar las raíces del denominador

Primero, encontraremos las raíces del denominador \(x^3 - 7x + 6\):

\[
x^3 - 7x + 6 = 0.
\]

Buscaremos las raíces usando el método de prueba y error (factorización) o la regla de Ruffini.

Probando valores posibles (basados en los factores del término constante 6):

- Para \(x = 1\):
  \[
  1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0.
  \]
  Entonces, \(x = 1\) es una raíz.

Ahora, factorizamos \(x^3 - 7x + 6\) utilizando \(x - 1\) como factor:

\[
x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6).
\]

Descomponemos el trinomio cuadrado \(x^2 + x - 6\):

\[
x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3).
\]

Por lo tanto, el denominador factorizado es:

\[
x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x + 3).
\]

### Paso 2: Encontrar las raíces del numerador

Ahora encontramos las raíces del numerador \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\):

\[
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0.
\]

Probando valores posibles:

- Para \(x = 1\):
  \[
  1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0.
  \]
  Entonces, \(x = 1\) es una raíz.

Factorizamos utilizando \(x - 1\):

\[
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6).
\]

Descomponemos \(x^2 - x - 6\):

\[
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
\]

Por lo tanto, el numerador factorizado es:

\[
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2).
\]

### Paso 3: Analizar las discontinuidades

Con las factorizaciones, la función se puede reescribir como:

\[
f(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)}.
\]

Observamos las posibles discontinuidades en \(x = -3\), \(x = 1\) y \(x = 2\):

- **Para \(x = -3\):** El denominador se anula y no se anula el numerador, por lo tanto, hay una **asíntota vertical**.

- **Para \(x = 1\):** El numerador y el denominador se anulan, indicando un **punto vacío** (discontinuidad removible). Simplificando, tenemos:
  \[
  f(x) = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 2)(x + 3)} \quad \text{para} \; x \neq 1.
  \]

- **Para \(x = 2\):** El denominador se anula y no se anula el numerador, por lo tanto, hay una **asíntota vertical**.

### Conclusión:

La opción correcta es:

**a.**  
En  
\(x = -3\) existe una Asíntota Vertical  
\(x = 1\) existe un Punto Vacío  
\(x = 2\) existe una asíntota vertical  

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determinan las asíntotas verticales y los puntos vacíos de una función racional?
2. ¿Qué técnicas se pueden usar para factorizar polinomios de grado mayor que 2?
3. ¿Qué diferencias existen entre una discontinuidad removible y una no removible?
4. ¿Cómo afecta la simplificación de una función racional a la identificación de discontinuidades?
5. ¿Cuáles son los pasos para analizar el comportamiento de una función racional cerca de sus puntos críticos?

**Tip:** Siempre verifica si puedes simplificar una función racional antes de analizar sus discontinuidades para identificar correctamente los puntos vacíos y las asíntotas.

Explore the analysis of a rational function involving vertical asymptotes and discontinuities. Understand how to determine vertical asymptotes and points of discontinuity using factorization techniques. Suitable for advanced high school students and anyone interested in calculus and function analysis.

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