Considere las siguientes afirmaciones:

(I) Las ecuaciones paramétricas x=\cosh(4t) y y=\sinh(2t),  describen una circunferencia con centro en el origen y radio 1.

(II) Las ecuaciones x=5\cos(3t)-3 y y=5\sin(3t)+5 con 0\leq t \leq 
\frac{2\pi}{3}, describe una circunferencia de radio 5 y centro (-3,5).


Pregunta 4Seleccione una:

a. Sólo la afirmación (II) es cierta.


b. Las afirmaciones (I) y  (II) son falsas.


c. Las afirmaciones (I) y  (II) son ciertas.


d. Sólo la afirmación (I) es cierta.

Vamos a analizar cada una de las afirmaciones por separado para determinar su veracidad.

### Análisis de la afirmación (I)

Las ecuaciones paramétricas dadas son:
\[ x = \cosh(4t) \]
\[ y = \sinh(2t) \]

Primero, recordemos las identidades hiperbólicas:
\[ \cosh^2(u) - \sinh^2(u) = 1 \]

Sin embargo, en este caso, tenemos diferentes argumentos dentro de las funciones hiperbólicas (\(4t\) y \(2t\)), por lo que no podemos aplicar directamente la identidad hiperbólica para relacionar \(x\) e \(y\).

Además, una circunferencia con centro en el origen y radio 1 se describe por la ecuación:
\[ x^2 + y^2 = 1 \]

Ahora, consideremos la relación entre \(x\) e \(y\) para las ecuaciones dadas:
\[ x = \cosh(4t) \quad \text{y} \quad y = \sinh(2t) \]

No existe una manera sencilla de relacionar estas dos ecuaciones que conduzca a \(x^2 + y^2 = 1\), lo cual indica que **no** describe una circunferencia con centro en el origen y radio 1.

### Conclusión sobre (I):
La afirmación (I) es **falsa**.

### Análisis de la afirmación (II)

Las ecuaciones paramétricas dadas son:
\[ x = 5\cos(3t) - 3 \]
\[ y = 5\sin(3t) + 5 \]

Estas ecuaciones tienen la forma general de las ecuaciones paramétricas de una circunferencia:
\[ x = r\cos(\theta) + h \]
\[ y = r\sin(\theta) + k \]

donde \(r\) es el radio, y \((h, k)\) es el centro de la circunferencia. Aquí:

- \(r = 5\) (radio)
- \(h = -3\) (coordenada \(x\) del centro)
- \(k = 5\) (coordenada \(y\) del centro)

Por lo tanto, estas ecuaciones **sí** describen una circunferencia con radio 5 y centro en \((-3, 5)\). Además, dado que \(t\) varía en \(0 \leq t \leq \frac{2\pi}{3}\), la circunferencia completa no se traza, pero sí un arco que corresponde a este rango.

### Conclusión sobre (II):
La afirmación (II) es **verdadera**.

### Respuesta Final:
La opción correcta es **a. Sólo la afirmación (II) es cierta.**

¿Tienes alguna duda adicional o te gustaría que te explique algún concepto con más detalle?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se encuentran las ecuaciones paramétricas de una circunferencia?
2. ¿Qué propiedades tienen las funciones hiperbólicas comparadas con las funciones trigonométricas?
3. ¿Cómo parametrizar una elipse en lugar de una circunferencia?
4. ¿Qué representa geométricamente la función \(\cosh(t)\) en términos de curvas?
5. ¿Cómo se determina el arco de una circunferencia que describe una ecuación paramétrica dada?

**Tip:** Las funciones hiperbólicas (\(\sinh\), \(\cosh\)) no describen circunferencias sino curvas relacionadas con hipérbolas. Para circunferencias, se utilizan funciones trigonométricas estándar (\(\sin\), \(\cos\)).

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