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paso a paso, resuelva el siguiente caso de números complejos cálculo avanzado

Para resolver la expresión dada con números complejos paso a paso, sigamos los siguientes procedimientos. La expresión que debes simplificar es:

\[
\frac{2^{i\pi}(2 - e^{i2\pi}) - (3 + 3i)}{(2 + 5i) + (2 + 5i)}
\]

### Paso 1: Simplificación de las partes superiores e inferiores de la fracción

1. **Simplificación de la expresión \(2^{i\pi}\):**

   Según la identidad de Euler:
   \[
   e^{i\pi} = -1
   \]
   Así que:
   \[
   2^{i\pi} = e^{i\pi \ln(2)} = -1
   \]
   Por lo tanto, la parte superior \(2^{i\pi}(2 - e^{i2\pi})\) se simplifica utilizando esta identidad.

2. **Simplificación de \(e^{i2\pi}\):**

   Sabemos que \(e^{i2\pi} = 1\). Por lo tanto:
   \[
   2 - e^{i2\pi} = 2 - 1 = 1
   \]
   Entonces, la parte superior de la fracción se convierte en:
   \[
   2^{i\pi} \cdot 1 - (3 + 3i) = -1 - (3 + 3i)
   \]

   Simplificando aún más:
   \[
   -1 - 3 - 3i = -4 - 3i
   \]

3. **Simplificación de la parte inferior:**

   La parte inferior de la fracción es:
   \[
   (2 + 5i) + (2 + 5i) = 4 + 10i
   \]

### Paso 2: Expresión final simplificada

Ahora, la fracción completa es:
\[
\frac{-4 - 3i}{4 + 10i}
\]

Para simplificar esto, multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de \(4 + 10i\) es \(4 - 10i\). Multiplicamos ambos:

1. Numerador:
   \[
   (-4 - 3i)(4 - 10i) = (-4)(4) + (-4)(-10i) + (-3i)(4) + (-3i)(-10i)
   \]
   Expandiendo:
   \[
   = -16 + 40i - 12i + 30 = 14 + 28i
   \]

2. Denominador:
   \[
   (4 + 10i)(4 - 10i) = 4^2 - (10i)^2 = 16 - (-100) = 116
   \]

Por lo tanto, la fracción completa es:
\[
\frac{14 + 28i}{116}
\]

Finalmente, simplificamos dividiendo cada término por 116:
\[
\frac{14}{116} + \frac{28i}{116} = \frac{7}{58} + \frac{14i}{58}
\]

### Respuesta final:

La expresión simplificada es:
\[
\frac{7}{58} + \frac{14i}{58}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o más ejemplos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la multiplicación por el conjugado en la simplificación de fracciones complejas?
2. ¿Cuál es la identidad de Euler y cómo se aplica en números complejos?
3. ¿Cómo se simplifican las fracciones complejas en coordenadas polares?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de multiplicar un número complejo por su conjugado?
5. ¿Cómo se puede verificar el resultado final en números complejos?

### Tip:
Cuando simplifiques expresiones con números complejos, aplicar la identidad de Euler puede simplificar significativamente las operaciones.

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