cuantos numeros de 3 cifras capicuas son multiplos de 7

Un número capicúa de 3 cifras tiene la forma \( \overline{aba} \), donde \( a \) es la primera y tercera cifra, y \( b \) es la segunda cifra. Este número se puede expresar como:

\[
\overline{aba} = 100a + 10b + a = 101a + 10b
\]

Para encontrar cuántos números capicúas de tres cifras son múltiplos de 7, necesitamos resolver la ecuación:

\[
101a + 10b \equiv 0 \pmod{7}
\]

Esto significa que \( 101a + 10b \) debe ser divisible por 7. El valor de \( a \) puede variar entre 1 y 9 (ya que es una cifra no nula), y el valor de \( b \) puede variar entre 0 y 9 (ya que es una cifra cualquiera). Ahora, probamos con todos los valores posibles de \( a \) y \( b \) para encontrar los que son múltiplos de 7.

### Resolviendo manualmente

1. Para \( a = 1 \): \( 101(1) + 10b = 101 + 10b \). Modulo 7:
   \[
   101 \equiv 3 \pmod{7}
   \]
   Entonces:
   \[
   3 + 10b \equiv 0 \pmod{7}
   \]
   \[
   10b \equiv 4 \pmod{7}
   \]
   Al resolver para \( b \), encontramos que no hay solución en \( b \) tal que \( 101(1) + 10b \) sea divisible por 7.

2. Repetimos el proceso para \( a = 2, 3, \ldots, 9 \), y obtenemos que los números capicúas de 3 cifras que son divisibles por 7 son:

\[
707, 828, 949
\]

### Resultado
Hay **3 números capicúas de tres cifras que son múltiplos de 7**.

¿Te gustaría que explique más detalles de este procedimiento? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras son múltiplos de 11?
2. ¿Qué es un número capicúa y cómo se forman estos números?
3. ¿Cuántos números de 2 cifras capicúas son múltiplos de 5?
4. ¿Cuál es el criterio de divisibilidad por 7?
5. ¿Cómo se generalizan los números capicúas de \( n \) cifras?

### Tip:
Para verificar si un número es divisible por 7, puedes utilizar el método de multiplicar la última cifra por 2 y restarla del número sin la última cifra, repitiendo este proceso hasta obtener un número manejable.

Discover how to find 3-digit capicúa numbers that are divisible by 7. This detailed explanation covers number theory, modulo arithmetic, and divisibility rules to solve the problem. Perfect for students in Grades 9-12 learning about capicúa numbers and divisibility.

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