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Vamos resolver as questões.

### Primeira questão:

A soma dada é:

\[
\cos(2x + \pi) + \sqrt{3}\cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
\]

Essa expressão pode ser escrita na forma \( R \cos(2x + \theta) \), onde \( R \) é a amplitude e \( \theta \) é a fase.

Para encontrar \( R \) e \( \theta \), usamos as identidades:

\[
R = \sqrt{A^2 + B^2}
\]

e

\[
\theta = \arctan\left(\frac{B}{A}\right)
\]

onde \( A = 1 \) e \( B = \sqrt{3} \) correspondem aos coeficientes de \(\cos(2x + \pi)\) e \(\cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\), respectivamente.

Calculando a amplitude \( R \):

\[
R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
\]

Agora, a fase \( \theta \):

\[
\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}
\]

Como a fase positiva deve ser dada em graus:

\[
\theta = \frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 60^\circ
\]

Portanto, a amplitude é 2 e a fase positiva é 60 graus.

### Segunda questão:

A soma dada é:

\[
3\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos\left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)
\]

Queremos simplificar essa soma e encontrar qual expressão ela equivale. A soma de dois cossenos pode ser expressa como:

\[
A\cos(x) + B\cos(y) = C\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) + D\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
\]

Aplicando para os valores \( x = \pi t + \frac{\pi}{3} \) e \( y = \pi t - \frac{2\pi}{3} \):

Aqui, aplicamos as identidades de soma e diferença para simplificação, mas podemos observar que o formato do problema corresponde a alternativas específicas, então calculamos diretamente:

\[
x - y = \left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) - \left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi
\]

\[
x + y = \left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) + \left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right) = 2\pi t - \frac{\pi}{3}
\]

Portanto, a expressão pode ser simplificada e correspondendo às alternativas, temos que a resposta correta é:

**Alternativa e:**

\[
5 \cos\left(\pi t - \frac{\pi}{3}\right)
\]

### Resumo:

- **Amplitude:** 2
- **Fase positiva:** 60 graus
- **Resposta da segunda questão:** Alternativa **e**.

---

Você quer mais detalhes ou tem alguma dúvida? 

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como encontrar a amplitude de uma soma de cossenos?
2. Qual é a importância da fase positiva em graus?
3. Como podemos usar identidades trigonométricas para simplificar somas de funções trigonométricas?
4. Como se relaciona a fase de uma função trigonométrica com seu gráfico?
5. Quais são outras maneiras de expressar a soma de cossenos?

**Dica:** Ao somar duas funções trigonométricas, a fase e amplitude da resultante podem ser determinadas através de vetores no plano complexo.

Resolve as seguintes expressões trigonométricas em português.

Explore how to calculate the amplitude and phase of trigonometric sums using specific formulas and identities. This detailed guide is suitable for university-level mathematics.

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