.Determine la amplitud y periodo de cada función. Grafique.  
a) 2 sen x y=  
b) sen πx y=6 
c) sen(− x) y= 3
 5
 3
 2π 
d) sen 2x y= −4 
e) en x y=s +3 
f) sen x y= 4
 1 −2
 3

Para cada una de las funciones dadas, vamos a identificar la **amplitud** y el **período** y, posteriormente, te daré una descripción sobre cómo graficarlas.

### a) \( y = 2 \sin(x) \)
- **Amplitud**: La amplitud es el valor máximo de la función, que en este caso es el coeficiente que multiplica al seno. Aquí, la amplitud es \( 2 \).
- **Período**: El período de la función seno estándar es \( 2\pi \). Como no hay factor que modifique \( x \), el período sigue siendo \( 2\pi \).

### b) \( y = \frac{\sin(\pi x)}{6} \)
- **Amplitud**: El coeficiente \( \frac{1}{6} \) es la amplitud.
- **Período**: La frecuencia angular es \( \pi \), así que el período se calcula como \( \frac{2\pi}{\pi} = 2 \).

### c) \( y = 3 \sin(-x) + \frac{5}{3} \)
- **Amplitud**: El coeficiente frente al seno es \( 3 \), por lo tanto, la amplitud es \( 3 \).
- **Período**: El seno de \( -x \) no cambia el período, por lo que el período es \( 2\pi \).
- **Traslación vertical**: Hay una traslación vertical de \( \frac{5}{3} \).

### d) \( y = -4 \sin(2x) \)
- **Amplitud**: El valor absoluto de \( -4 \) es \( 4 \), por lo tanto, la amplitud es \( 4 \).
- **Período**: La frecuencia angular es \( 2 \), entonces el período es \( \frac{2\pi}{2} = \pi \).

### e) \( y = \sin(x) + 3 \)
- **Amplitud**: Como el coeficiente frente al seno es \( 1 \), la amplitud es \( 1 \).
- **Período**: El período de la función seno es \( 2\pi \), y aquí no hay modificaciones que lo alteren.
- **Traslación vertical**: Hay una traslación vertical de \( 3 \).

### f) \( y = \frac{4}{3} \sin(x - 2) \)
- **Amplitud**: El coeficiente frente al seno es \( \frac{4}{3} \), por lo tanto, la amplitud es \( \frac{4}{3} \).
- **Período**: Como no hay cambios en la frecuencia angular, el período sigue siendo \( 2\pi \).
- **Traslación horizontal**: Hay una traslación horizontal de \( 2 \) unidades hacia la derecha.

### Resumen de amplitudes y períodos:
- **a)** Amplitud: \( 2 \), Período: \( 2\pi \)
- **b)** Amplitud: \( \frac{1}{6} \), Período: \( 2 \)
- **c)** Amplitud: \( 3 \), Período: \( 2\pi \)
- **d)** Amplitud: \( 4 \), Período: \( \pi \)
- **e)** Amplitud: \( 1 \), Período: \( 2\pi \)
- **f)** Amplitud: \( \frac{4}{3} \), Período: \( 2\pi \)

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### ¿Deseas los gráficos de las funciones para visualizarlas mejor?

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el coeficiente del seno a la forma de la gráfica?
2. ¿Cómo se calcula el período de una función seno con una frecuencia angular distinta de 1?
3. ¿Qué ocurre cuando una función seno tiene una traslación vertical?
4. ¿Cómo interpretar una traslación horizontal en una función trigonométrica?
5. ¿Cómo se refleja un coeficiente negativo en una función seno?

**Tip**: Recuerda que el período de una función \( \sin(kx) \) es \( \frac{2\pi}{k} \), donde \( k \) es la frecuencia angular.

Determine la amplitud y periodo de cada función. Grafique. 
a) 2 sen x y= 
b) sen πx y=6 
c) sen(− x) y= 3
 5
 3
 2π 
d) sen 2x y= −4 
e) en x y=s +3 
f) sen x y= 4
 1 −2
 3

Learn how to determine the amplitude and period of various sine functions. This problem covers trigonometric concepts such as amplitude, period, phase shifts, and vertical shifts with step-by-step analysis. Suitable for students in Grades 10-12.

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