La suma de las raíces de la ecuación cuadrática

 13x^2+13x+k-9=0 
es igual al producto de las raíces. Entonces k es igual a:

La ecuación cuadrática que tenemos es:

\[
13x^2 + 13x + (k - 9) = 0
\]

Sabemos que para una ecuación cuadrática general de la forma:

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

las raíces \( r_1 \) y \( r_2 \) están relacionadas con los coeficientes de la siguiente manera:

- **Suma de las raíces**: \( r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \)
- **Producto de las raíces**: \( r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} \)

En este caso, comparando con la ecuación original:

- \( a = 13 \)
- \( b = 13 \)
- \( c = k - 9 \)

La condición que se nos da en el problema es que la **suma de las raíces** es igual al **producto de las raíces**. Vamos a usar las fórmulas:

1. La suma de las raíces: 
   \[
   r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{13}{13} = -1
   \]
   
2. El producto de las raíces:
   \[
   r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} = \frac{k - 9}{13}
   \]

La condición dice que:
\[
r_1 + r_2 = r_1 \cdot r_2
\]

Entonces:
\[
-1 = \frac{k - 9}{13}
\]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 13 para eliminar el denominador:
\[
-13 = k - 9
\]

Finalmente, sumamos 9 a ambos lados:
\[
k = -13 + 9 = -4
\]

Por lo tanto, el valor de \( k \) es \( \boxed{-4} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué ocurre si cambiamos el coeficiente de \( x^2 \) en la ecuación?
2. ¿Cómo se verían afectadas las raíces si cambiamos el término lineal \( b \)?
3. ¿Cómo podemos factorizar una ecuación cuadrática si conocemos sus raíces?
4. ¿Qué método alternativo puede utilizarse para encontrar \( k \) en una ecuación cuadrática?
5. ¿Cómo influye el discriminante en el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática?

**Tip**: Siempre verifica que el discriminante sea no negativo si buscas soluciones reales en una ecuación cuadrática.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática 13x^2 + 13x + k - 9 = 0 es igual al producto de las raíces. Entonces k es igual a:

Discover how to solve the quadratic equation 13x^2 + 13x + k - 9 = 0, where the sum of the roots equals the product of the roots. This detailed step-by-step solution uses key algebraic concepts and is suitable for students in Grades 9-12.

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