问题d的答案我这样写U(τ;s)=s(e 
τ
 −e 
−τ
 ).对吗

让我们检查一下您的答案 \( U(\tau; s) = s(e^{\tau} - e^{-\tau}) \) 是否正确。

根据问题 (1d)，我们需要解以下常微分方程：

\[
\frac{dU}{d\tau} = 2se^{\tau} - U
\]

使用积分因子法来解这个方程。首先，我们将方程写成标准形式：

\[
\frac{dU}{d\tau} + U = 2se^{\tau}
\]

积分因子为：

\[
\mu(\tau) = e^{\int 1 \, d\tau} = e^{\tau}
\]

将积分因子乘到方程的两边：

\[
e^{\tau}\frac{dU}{d\tau} + e^{\tau}U = 2se^{2\tau}
\]

这可以简化为：

\[
\frac{d}{d\tau}\left(e^{\tau}U\right) = 2se^{2\tau}
\]

现在对两边积分：

\[
e^{\tau}U = \int 2se^{2\tau} \, d\tau = s e^{2\tau} + C
\]

因此，解为：

\[
U(\tau; s) = se^{\tau} + Ce^{-\tau}
\]

利用初始条件 \( U(0; s) = 0 \)，我们可以求得常数 \( C \)：

\[
U(0; s) = s + C = 0 \implies C = -s
\]

最终得到的解为：

\[
U(\tau; s) = s(e^{\tau} - e^{-\tau})
\]

您的答案 \( U(\tau; s) = s(e^{\tau} - e^{-\tau}) \) 是完全正确的。

如果有其他问题或需要进一步解释，请告诉我。以下是5个相关问题供您参考：

1. 为什么使用积分因子法可以解这种类型的常微分方程？
2. 如何将类似的问题推广到更高维度的偏微分方程？
3. 如果初始条件有所不同，如何修改常数 \( C \) 的值？
4. 在实际应用中，这种类型的解在物理或工程问题中如何使用？
5. 如何检验得到的解是否满足原始 PDE 的初始条件？

**提示：** 在解微分方程时，正确应用初始条件是确保解的唯一性的重要步骤。

Explore the solution process for the differential equation problem 1d: \( U(\tau; s) = s(e^{\tau} - e^{-\tau}) \). Understand the application of integrating factor method and initial value conditions. Suitable for advanced mathematics students and those interested in differential equations.

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