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Puedes resolver el siguiente documento de ejercicios de algrebra, pero debes resolver tal como se solicita

He revisado el documento que subiste. Ahora procederé a resolver algunos de los ejercicios tal como se solicita. Si tienes alguna preferencia por un ejercicio en específico, házmelo saber. De lo contrario, resolveré una selección de ellos. Aquí van las soluciones a algunos de los ejercicios:

### Ejercicio 1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

**a) \( 2^{2x} + 2^{x+2} - 12 = 0 \)**

Vamos a realizar un cambio de variable: \( y = 2^x \). Por lo tanto, \( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \) y \( 2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4y \).

La ecuación se convierte en:
\[
y^2 + 4y - 12 = 0
\]

Resolvemos usando la fórmula general:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -12 \).

\[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)}
\]
\[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}
\]
\[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2}
\]
\[
y = \frac{-4 \pm 8}{2}
\]

Esto da dos soluciones: \( y = 2 \) y \( y = -6 \). Como \( y = 2^x \) no puede ser negativo, descartamos \( y = -6 \).

Entonces \( 2^x = 2 \) implica que \( x = 1 \).

**Respuesta:** \( x = 1 \).

**b) \( 3\log_2x = -\log_227 \)**

Podemos reescribir la ecuación como:
\[
3\log_2x = -\log_2(3^3)
\]
\[
\log_2x^3 = \log_2\left(\frac{1}{27}\right)
\]

Igualando los argumentos de los logaritmos:
\[
x^3 = \frac{1}{27}
\]
\[
x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}
\]

**Respuesta:** \( x = \frac{1}{3} \).

### Ejercicio 2. Resuelva la siguiente ecuación:

\( e^x + e^{-x} = 6 \)

Multiplicamos ambos lados por \( e^x \):
\[
e^{2x} + 1 = 6e^x
\]
Dejamos todo en términos de \( y = e^x \):
\[
y^2 - 6y + 1 = 0
\]

Aplicamos la fórmula general:
\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}
\]
\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}
\]
\[
y = 3 \pm 2\sqrt{2}
\]

Ahora revertimos el cambio de variable: \( e^x = 3 + 2\sqrt{2} \) o \( e^x = 3 - 2\sqrt{2} \).

**Respuesta:**
\[
x = \ln(3 + 2\sqrt{2}) \quad \text{(válida)} \quad \text{y} \quad x = \ln(3 - 2\sqrt{2}) \quad \text{(válida)}
\]

### Ejercicio 3. Escriba los primeros cinco términos de cada sucesión:

**a) \( \{n\} \)**

Términos: 1, 2, 3, 4, 5.

**b) \( n^2 + 1 \)**

Términos: 2, 5, 10, 17, 26.

**c) \( \frac{2n}{3n+1} \)**

Términos: \( \frac{2}{4} \), \( \frac{4}{7} \), \( \frac{6}{10} \), \( \frac{8}{13} \), \( \frac{10}{16} \).

**d) \( \frac{n^2}{2n} \)**

Términos: \( \frac{1}{2} \), 1, \( \frac{9}{4} \), \( \frac{8}{2} \), \( \frac{25}{10} \).

### Ejercicio 4. Continúa el patrón proporcionado, escriba el n-ésimo término de cada sucesión:

**a) \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots \)**

\( n \)-ésimo término: \( \frac{n}{n+1} \).

**b) \( \frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 5}, \ldots \)**

\( n \)-ésimo término: \( \frac{1}{n(n+1)} \).

**c) 1, -2, 3, -4, 5, -6**

\( n \)-ésimo término: \( (-1)^{n+1} \cdot n \).

### Ejercicio 5. La sucesión se define de manera recursiva. Escriba los cinco primeros términos:

**a) \( a_1 = 2, a_n = 3 + a_{n-1} \)**

Términos: 2, 5, 8, 11, 14.

**b) \( a_1 = -2, a_n = n + a_{n-1} \)**

Términos: -2, 1, 5, 10, 16.

**c) \( a_1 = 1, a_n = n - a_{n-1} \)**

Términos: 1, 1, 2, 2, 3.

---

¿Quieres que resuelva más ejercicios o alguna parte específica de ellos? ¡Házmelo saber!

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se aplican las propiedades de logaritmos para simplificar ecuaciones?
2. ¿Qué técnicas se pueden usar para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo se identifican y describen patrones en una sucesión?
4. ¿Qué pasos seguir para resolver ecuaciones exponenciales con \( e \)?
5. ¿Cómo determinar términos específicos de una sucesión recursiva?

### Tip:
Para resolver ecuaciones logarítmicas, una técnica útil es convertir la ecuación en una sola expresión logarítmica para luego igualar los argumentos y resolver.

Explore algebra exercises covering equations, logarithms, and sequences with detailed solutions. Topics include solving exponential equations, applying logarithmic properties, and defining sequences. Suitable for Grades 10-12 students.

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