Ansatz: 𝑅଴ = 5000 ⋅ 1,015 ⋅ 1,015ଵଷ − 1 0,015 ⋅ 1 1,015ଵଷ Lösung: 𝑅଴ = 59.537,53 Erkläre mir folgende Rechnung von einer Person, die ab dem 01.01.25 die erste Rate von 5000 Euro einzahlt und dies jedes Quartal wiederholt und die letzte Rate am 01.01.2028 mit einem Zinssatz von 6% relativer Verzinsung mit quartalsweisen Zuschlagterminen einzahlt

In dieser Rechnung handelt es sich um die Berechnung des Endkapitals (𝑅₀) eines Sparerplans, bei dem eine Person regelmäßig Raten von 5000 Euro einzahlt. Die Zahlungen erfolgen vierteljährlich, und es gibt eine Verzinsung von 6 % pro Jahr, die ebenfalls quartalsweise aufgeschlagen wird. Ich werde die Formel und das Szenario Schritt für Schritt erklären.

### 1. Szenario

- **Raten**: Jede Einzahlung beträgt 5000 Euro, und diese wird vierteljährlich (d.h. alle 3 Monate) getätigt.
- **Laufzeit**: Die erste Einzahlung erfolgt am 01.01.2025 und die letzte am 01.01.2028, was eine Dauer von 3 Jahren oder insgesamt 12 Quartalen ergibt.
- **Zinssatz**: Es wird ein Zinssatz von 6 % pro Jahr verwendet, aber da die Zinsen quartalsweise aufgeschlagen werden, wird der Zinssatz für jedes Quartal aufgeteilt. Der Zinssatz pro Quartal beträgt daher \( \frac{6\%}{4} = 1,5\% \) oder 0,015 als Dezimalzahl.

### 2. Die Formel

Die verwendete Formel ist eine Standardformel zur Berechnung des Endwerts einer Reihe regelmäßiger Einzahlungen mit Zinseszins:

\[
R_0 = \frac{5000 \cdot \left(1,015^{13} - 1\right)}{0,015 \cdot 1,015^{13}}
\]

Die einzelnen Bestandteile der Formel sind:

- **5000**: Die Höhe der vierteljährlichen Rate.
- **1,015**: Dies ist der Wachstumsfaktor pro Quartal. Es entspricht dem Zinssatz von 1,5 % als Dezimalzahl \( (1 + 0,015) = 1,015 \).
- **13**: Die Anzahl der Quartale von der ersten Einzahlung bis zum Ende des Sparplans. Es handelt sich um 12 Quartale von 01.01.2025 bis 01.01.2028. Da der Zinssatz quartalsweise angewendet wird, bezieht sich die Potenzierung auf diese 13 Quartale.
  
### 3. Erklärung der Berechnung

- Der Zähler \( 5000 \cdot \left(1,015^{13} - 1\right) \) beschreibt den kumulierten Wert der Einzahlungen unter Berücksichtigung des Zinseszinses. Jede Einzahlung wächst aufgrund der vierteljährlichen Verzinsung, weshalb der Wachstumsfaktor \( 1,015 \) potenziert wird.
  
- Der Nenner \( 0,015 \cdot 1,015^{13} \) normalisiert den Zähler, um den Zinseinfluss korrekt zu berechnen. Hier wird die relative Zinserhöhung berücksichtigt.

Durch das Einsetzen der Werte erhält man:

\[
R_0 = \frac{5000 \cdot \left(1,015^{13} - 1\right)}{0,015 \cdot 1,015^{13}}
\]

### 4. Ergebnis: 59.537,53 Euro

Nachdem die Berechnung durchgeführt wurde, ergibt sich ein Endkapital von **59.537,53 Euro**. Dies bedeutet, dass die Person nach 3 Jahren mit vierteljährlichen Einzahlungen von jeweils 5000 Euro, bei einem Zinssatz von 6 % pro Jahr, am Ende 59.537,53 Euro zur Verfügung hat.

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### Hast du noch Fragen zu den Details oder möchtest du etwas genauer wissen? Hier sind 5 weiterführende Fragen, die das Thema vertiefen:

1. Wie verändert sich das Ergebnis, wenn der Zinssatz höher oder niedriger wäre?
2. Wie wird der Zinssatz bei monatlichen statt vierteljährlichen Einzahlungen berechnet?
3. Wie wird der Endwert bei unregelmäßigen Einzahlungen ermittelt?
4. Warum wird der Zinssatz durch \(1,015\) dargestellt, und wie wird dieser angepasst, wenn der Zinssatz jährlich anders ist?
5. Wie könnte die Formel aussehen, wenn der Zinssatz variabel wäre?

### Tipp: 
Achte bei regelmäßigen Sparraten darauf, wie der Zinseszinseffekt wirkt – je häufiger die Zinsen aufgeschlagen werden, desto größer ist der Einfluss auf das Endkapital.

Erkläre mir folgende Rechnung von einer Person, die ab dem 01.01.25 die erste Rate von 5000 Euro einzahlt und dies jedes Quartal wiederholt und die letzte Rate am 01.01.2028 mit einem Zinssatz von 6% relativer Verzinsung mit quartalsweisen Zuschlagterminen einzahlt

Understand how to calculate the future value of a quarterly annuity with compound interest, where regular payments of 5000 Euros are made every quarter from 01.01.2025 to 01.01.2028 at a 6% annual interest rate. This guide includes step-by-step calculations and explanations of key financial concepts.

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