Una empresa familiar, desea saber la cantidad aproximada de ingresos ocurridos en ciertos meses del año 2022, ya que por falta de controles internos se han perdidos algunos datos financieros y solo cuentan con los datos mostrados en la siguiente tabla. Los ingresos están en miles de dólares.
Utilizando la Interpolación de Newton, determine: 
MESES	FEBRERO	ABRIL	MAYO	JUNIO	AGOSTO
INGRESOS	23	32	49	57	85

a.	La ecuación polinomial de grado n, que satisface los datos mostrados en la tabla. Debe generar y mostrar la tabla de diferenciación dividida hacia adelante. Así como la generación de la ecuación solicitada.
b.	Mostar polinomio solicitado 
c.	Evaluar los ingresos obtenidos en el mes de julio


Para resolver este problema y obtener la ecuación polinomial que describe los ingresos de la empresa familiar a lo largo de los meses dados, utilizaremos la **Interpolación de Newton**. La técnica consiste en encontrar un polinomio que pase por todos los puntos dados en la tabla. 

**Datos proporcionados:**

| Mes      | Ingreso (miles de dólares) |
|----------|----------------------------|
| Febrero  | 23                         |
| Abril    | 32                         |
| Mayo     | 49                         |
| Junio    | 57                         |
| Agosto   | 85                         |

Representaremos estos datos como pares \((x, f(x))\), donde \(x\) son los meses y \(f(x)\) son los ingresos correspondientes. Para simplificar, asignemos números a los meses:

| Mes       | x  | f(x) (Ingreso) |
|-----------|----|----------------|
| Febrero   | 2  | 23             |
| Abril     | 4  | 32             |
| Mayo      | 5  | 49             |
| Junio     | 6  | 57             |
| Agosto    | 8  | 85             |

### **a. Generar la tabla de diferencias divididas hacia adelante**

La fórmula general del polinomio de interpolación de Newton es:

\[
P(x) = f(x_0) + \Delta f(x_0)(x - x_0) + \Delta^2 f(x_0)(x - x_0)(x - x_1) + \cdots
\]

Donde \(\Delta^k f(x_0)\) son las diferencias divididas.

Empezamos construyendo la tabla de diferencias divididas con los puntos dados. Permíteme calcular esta tabla y el polinomio resultante.### **a. Tabla de Diferencias Divididas hacia Adelante:**

La tabla de diferencias divididas obtenida es la siguiente:

| \(x\)  | \(f(x)\) | 1ª diferencia | 2ª diferencia | 3ª diferencia | 4ª diferencia |
|--------|----------|---------------|---------------|---------------|---------------|
| 2      | 23       | 4.5           | 4.1667        | -2.1667       | 0.631944      |
| 4      | 32       | 17            | -4.5          | 1.625         | 0             |
| 5      | 49       | 8             | 2             | 0             | 0             |
| 6      | 57       | 14            | 0             | 0             | 0             |
| 8      | 85       | 0             | 0             | 0             | 0             |

### **b. Polinomio Interpolador de Newton:**

El polinomio de interpolación en forma de Newton es:

\[
P(x) = f(x_0) + \Delta f(x_0)(x - x_0) + \Delta^2 f(x_0)(x - x_0)(x - x_1) + \Delta^3 f(x_0)(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) + \cdots
\]

Sustituyendo los coeficientes obtenidos de la tabla de diferencias divididas, tenemos:

\[
P(x) = 23 + 4.5(x - 2) + 4.1667(x - 2)(x - 4) - 2.1667(x - 2)(x - 4)(x - 5) + 0.631944(x - 2)(x - 4)(x - 5)(x - 6)
\]

### **c. Evaluar los ingresos obtenidos en el mes de julio:**

Para evaluar los ingresos en julio (\(x = 7\)), utilizamos el polinomio obtenido. Vamos a calcular el valor de \(P(7)\).### **Resultado:**
Los ingresos estimados para el mes de **julio** utilizando el polinomio de interpolación de Newton son aproximadamente **61.96 miles de dólares**.

### Resumen:
- **a.** La tabla de diferencias divididas fue generada correctamente.
- **b.** El polinomio de interpolación de Newton obtenido es:
  \[
  P(x) = 23 + 4.5(x - 2) + 4.1667(x - 2)(x - 4) - 2.1667(x - 2)(x - 4)(x - 5) + 0.631944(x - 2)(x - 4)(x - 5)(x - 6)
  \]
- **c.** Los ingresos estimados para julio son aproximadamente **61.96 miles de dólares**.

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos o algún otro aspecto del proceso?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para las diferencias divididas de Newton?
2. ¿Qué otras técnicas de interpolación existen además de Newton?
3. ¿Cómo influye el número de puntos en la precisión del polinomio de interpolación?
4. ¿Qué diferencias existen entre la interpolación de Lagrange y de Newton?
5. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de la interpolación polinomial?

**Tip:** Para evitar problemas de precisión en polinomios de alto grado, puedes dividir el intervalo en secciones más pequeñas o utilizar técnicas como los splines.

Una empresa familiar, desea saber la cantidad aproximada de ingresos ocurridos en ciertos meses del año 2022, ya que por falta de controles internos se han perdidos algunos datos financieros y solo cuentan con los datos mostrados en la siguiente tabla. Los ingresos están en miles de dólares. Utilizando la Interpolación de Newton, determine: a) La ecuación polinomial de grado n, que satisface los datos mostrados en la tabla. Debe generar y mostrar la tabla de diferenciación dividida hacia adelante. Así como la generación de la ecuación solicitada. b) Mostar polinomio solicitado c) Evaluar los ingresos obtenidos en el mes de julio.

Discover how to estimate missing income data using Newton's Divided Differences interpolation. This example uses the months February, April, May, June, and August 2022, with income values in thousands of dollars. Learn how to generate the interpolation polynomial and estimate the income for July.

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