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Vamos a resolver los incisos del problema paso a paso:

### (a) Definir \( f(x) \) a trozos.

El gráfico muestra que \( f(x) \) está definido en el dominio \( [-5, 5] \) y la función cambia en diferentes intervalos:

1. Para \( -5 \leq x \leq -3 \), parece ser una función constante en \( y = 6 \), ya que es una línea horizontal en este intervalo.
   
   \( f(x) = 6 \) para \( x \in [-5, -3] \).

2. Para \( -3 < x < 3 \), la curva parece una semicircunferencia que se mueve desde \( y = 0 \) hasta \( y = 7 \), con centro en el origen y radio 5.

   La ecuación de una semicircunferencia centrada en el origen sería:

   \[
   f(x) = \sqrt{25 - x^2} \quad \text{para} \, x \in (-3, 3).
   \]

3. Para \( 3 \leq x \leq 5 \), nuevamente la función es constante y se mantiene en \( y = 0 \) (línea horizontal).

   \( f(x) = 0 \) para \( x \in [3, 5] \).

Por lo tanto, la función \( f(x) \) a trozos es:

\[
f(x) =
\begin{cases}
6 & \text{si } -5 \leq x \leq -3, \\
\sqrt{25 - x^2} & \text{si } -3 < x < 3, \\
0 & \text{si } 3 \leq x \leq 5.
\end{cases}
\]

### (b) Calcular los valores de \( f(-4), f(-3), f(3), f(4) \):

Usamos la definición por partes para evaluar estos valores:

- \( f(-4) \): Dado que \( -4 \) está en el intervalo \( [-5, -3] \), el valor es \( f(-4) = 6 \).
- \( f(-3) \): Al evaluar \( x = -3 \), vemos que en el gráfico la función tiene un punto abierto en \( y = 6 \) y se conecta con la curva. El valor no está definido debido a la discontinuidad. Por lo tanto, \( f(-3) \) no existe.
- \( f(3) \): Para \( x = 3 \), observamos en el gráfico que la función toma el valor \( y = 0 \). Así que \( f(3) = 0 \).
- \( f(4) \): Dado que \( 4 \in [3, 5] \), el valor es \( f(4) = 0 \).

Respuestas:
\[
f(-4) = 6, \quad f(-3) \, \text{no existe}, \quad f(3) = 0, \quad f(4) = 0.
\]

### (c) Calcular los límites:

1. \( \lim_{x \to -4} f(x) \):

   Para \( x \to -4 \), el valor se aproxima a \( 6 \) ya que la función es constante en ese intervalo. Por lo tanto:

   \[
   \lim_{x \to -4} f(x) = 6.
   \]

2. \( \lim_{x \to -3} f(x) \):

   Al acercarnos a \( x = -3 \) desde la izquierda, \( f(x) = 6 \). Desde la derecha, \( f(x) \) sigue la curva y se acerca a un valor menor a 6. Entonces, como los límites laterales no coinciden, este límite no existe.

   \[
   \lim_{x \to -3} f(x) \, \text{no existe}.
   \]

3. \( \lim_{x \to 3^-} f(x) \):

   Al acercarnos a \( x = 3 \) por la izquierda (desde la curva), el valor de \( f(x) \) se aproxima a \( 0 \). Por lo tanto:

   \[
   \lim_{x \to 3^-} f(x) = 0.
   \]

4. \( \lim_{x \to 3^+} f(x) \):

   Al acercarnos a \( x = 3 \) desde la derecha, el valor de \( f(x) \) es \( 0 \). Por lo tanto:

   \[
   \lim_{x \to 3^+} f(x) = 0.
   \]

5. \( \lim_{x \to 3} f(x) \):

   Como los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y ambos valen \( 0 \), entonces:

   \[
   \lim_{x \to 3} f(x) = 0.
   \]

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos pasos o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas que pueden interesarte:

1. ¿Cómo se derivan los límites laterales cuando hay discontinuidades?
2. ¿Qué pasa cuando una función tiene un salto discontinuo en un punto?
3. ¿Cómo se calcula el área bajo una curva semicircular?
4. ¿Qué tipos de discontinuidades pueden aparecer en funciones a trozos?
5. ¿Cómo se determina la continuidad de una función a trozos en un intervalo dado?

**Tip**: Recuerda que los límites laterales deben coincidir para que exista el límite en un punto discontinuo.

Define f(x) as a piecewise function, evaluate f(-4), f(-3), f(3), and f(4), and calculate the limits as x approaches -4, -3 (from both sides), and 3 (from both sides).

Learn how to define the piecewise function f(x) based on its graph, evaluate function values at given points like f(-4) and f(3), and calculate limits as x approaches specific values. This problem covers important concepts like piecewise functions, limits, and continuity. Suitable for students in Grades 11-12.

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