F(X,Y) RAIZ CUADRADA DE 16 MENOS X CUADRADA MENOS Y CUADRADA DERIVADA PARCIAL

Para calcular la derivada parcial de la función que has dado, primero definamos la función \( F(x, y) \):

\[
F(x, y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2}
\]

### Derivada Parcial con respecto a \( x \):

La derivada parcial de \( F(x, y) \) con respecto a \( x \) se denota como \( \frac{\partial F}{\partial x} \). Usamos la regla de la cadena:

\[
\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{16 - x^2 - y^2}} \cdot (-2x) 
\]

Simplificando:

\[
\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2 - y^2}}
\]

### Derivada Parcial con respecto a \( y \):

De manera similar, la derivada parcial con respecto a \( y \) se denota como \( \frac{\partial F}{\partial y} \):

\[
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{16 - x^2 - y^2}} \cdot (-2y) 
\]

Simplificando:

\[
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{16 - x^2 - y^2}}
\]

### Resumen de las Derivadas Parciales:
- **Derivada parcial con respecto a \( x \)**:
  \[
  \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2 - y^2}}
  \]
  
- **Derivada parcial con respecto a \( y \)**:
  \[
  \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{16 - x^2 - y^2}}
  \]

Estas derivadas indican cómo cambia la función \( F(x, y) \) en las direcciones de \( x \) y \( y \), respectivamente.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta geométricamente una derivada parcial?
2. ¿Qué significa cuando una derivada parcial es igual a cero?
3. ¿Cómo se calculan las segundas derivadas parciales de una función?
4. ¿Cuál es el dominio de la función \( F(x, y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2} \)?
5. ¿Qué forma tiene la gráfica de \( F(x, y) \) en 3D?
6. ¿Cómo se usa la regla de la cadena en derivadas parciales?
7. ¿Cómo se encuentra el gradiente de una función?
8. ¿Qué aplicaciones tienen las derivadas parciales en física?

**Consejo**: Las derivadas parciales son útiles para entender cómo varía una función en diferentes direcciones, lo que es clave en problemas de optimización y en el estudio de superficies.

Learn how to calculate partial derivatives of the function F(x, y) = sqrt(16 - x^2 - y^2). Detailed step-by-step solution provided, covering partial derivatives with respect to x and y using the chain rule. Suitable for advanced mathematics studies.

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