1. SoientA= 0 −1 ,B= 231 ,C= 0 3 ,D=2 010 ,E= −30 .Calculertouteslessommes
1 −4 321 −312 111 −86 possiblesdedeuxdecesmatrices.Calculer3A+2C et5B−4D.TrouverαtelqueA−αC soitlamatrice
nulle.
2. Montrer que si A + B = A, alors B est la matrice nulle.
3. Quevaut0·A?et1·A?Justifierl’affirmation:α(βA)=(αβ)A.IdemavecnA=A+A+···+A(n occurrences de A).


### 1. **Calcul des sommes de deux matrices parmi les matrices données**

Les matrices sont :

- \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \)
- \( B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \)
- \( C = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \)
- \( D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
- \( E = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

#### Sommes possibles de deux matrices parmi ces matrices :

1. \( A + B \):
   \[
   \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -7 \end{pmatrix}
   \]

2. \( A + C \):
   \[
   \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}
   \]

3. \( A + D \):
   \[
   \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}
   \]

4. \( A + E \):
   \[
   \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
   \]

5. \( B + C \):
   \[
   \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
   \]

6. \( B + D \):
   \[
   \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
   \]

7. \( B + E \):
   \[
   \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
   \]

8. \( C + D \):
   \[
   \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
   \]

9. \( C + E \):
   \[
   \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
   \]

10. \( D + E \):
    \[
    \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
    \]

#### Calcul de \( 3A + 2C \) :

\[
3A = 3 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -12 \end{pmatrix}
\]
\[
2C = 2 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}
\]
\[
3A + 2C = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & -10 \end{pmatrix}
\]

#### Calcul de \( 5B - 4D \) :

\[
5B = 5 \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 5 & -15 \end{pmatrix}
\]
\[
4D = 4 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}
\]
\[
5B - 4D = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 5 & -15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 15 \\ 1 & -15 \end{pmatrix}
\]

#### Trouver \( \alpha \) tel que \( A - \alpha C \) soit la matrice nulle :

Pour que \( A - \alpha C = 0 \), on doit avoir :

\[
A - \alpha C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} - \alpha \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 0\alpha & -1 - 3\alpha \\ 1 + 3\alpha & -4 - \alpha \end{pmatrix}
\]

Cette matrice est nulle si :

1. \( -1 - 3\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{1}{3} \)
2. Vérification dans l’autre équation : \( -4 - (-\frac{1}{3}) = -4 + \frac{1}{3} \), donc \(\alpha = -\frac{1}{3}\) est correct.

### 2. **Montrer que si \( A + B = A \), alors \( B \) est la matrice nulle.**

On suppose que \( A + B = A \), donc :

\[
A + B = A \Rightarrow A + B - A = A - A \Rightarrow B = 0
\]

Cela prouve que \( B \) doit être la matrice nulle pour satisfaire cette équation.

### 3. **Que vaut \( 0 \cdot A \) et \( 1 \cdot A \) ?**

- \( 0 \cdot A = 0 \) (matrice nulle de la même dimension que \( A \))
- \( 1 \cdot A = A \)

**Justification** : \( \alpha(\beta A) = (\alpha \beta) A \), car la multiplication scalaire est associative. Si \( A \) est une matrice, pour tout scalaire \( n \), \( nA = A + A + \cdots + A \) (n occurrences de \( A \)).

---

**Questions associées :**

1. Quelle est la différence entre une matrice diagonale et une matrice nulle ?
2. Pourquoi la multiplication scalaire dans les matrices respecte-t-elle l'associativité ?
3. Comment trouver une matrice inverse si elle existe ?
4. Quelle est la définition formelle d'une matrice nulle ?
5. Comment appliquer la multiplication de matrices à des systèmes d'équations linéaires ?

**Tip** : La multiplication matricielle n'est pas commutative en général, mais elle est associative et distributive.

1. Soient A = [ [0, -1], [1, -4] ], B = [ [2, 3], [1, -3] ], C = [ [0, 3], [-3, 1] ], D = [ [2, 0], [1, 0] ], E = [ [-3, 0], [1, 1] ]. Calculer toutes les sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A + 2C et 5B - 4D. Trouver α tel que A − αC soit la matrice nulle.
2. Montrer que si A + B = A, alors B est la matrice nulle.
3. Que vaut 0·A ? et 1·A ? Justifier l’affirmation : α(βA) = (αβ)A. Idem avec nA = A + A +···+ A (n occurrences de A).

Explore the calculations of matrix addition, scalar multiplication, and how to solve matrix equations such as A - αC = 0. Detailed solutions include the sums of given matrices, scalar multiples like 3A + 2C and 5B - 4D, and finding α for A - αC = 0. Suitable for advanced high school or college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation