Encuentre el valor de cada uno de los siguientes límites. Incluir el desarrollo y formulas correspondientes, entregando el análisis y respuesta a cada pregunta.

Lim x→-5  x2+4x-5
                     X+5


Vamos a resolver el límite dado paso a paso. El límite que se nos pide calcular es:

\[
\lim_{x \to -5} \frac{x^2 + 4x - 5}{x + 5}
\]

### Paso 1: Intentemos sustituir directamente \(x = -5\) en la función

Si sustituimos directamente \(x = -5\), obtendremos:

\[
\frac{(-5)^2 + 4(-5) - 5}{-5 + 5} = \frac{25 - 20 - 5}{0} = \frac{0}{0}
\]

Al obtener la indeterminación \( \frac{0}{0} \), debemos utilizar alguna técnica algebraica para simplificar la expresión.

### Paso 2: Factorización del numerador

El numerador es un polinomio cuadrático: \( x^2 + 4x - 5 \). Intentamos factorizarlo. Buscamos dos números que multiplicados den \(-5\) y sumados den \(4\). Estos números son \(5\) y \(-1\), por lo que podemos factorizar el numerador como:

\[
x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)
\]

### Paso 3: Simplificación de la fracción

Sustituimos la factorización del numerador en la expresión original:

\[
\frac{(x + 5)(x - 1)}{x + 5}
\]

Podemos cancelar el factor común \(x + 5\) en el numerador y denominador (siempre y cuando \(x \neq -5\) para evitar la división por cero):

\[
\frac{(x + 5)(x - 1)}{x + 5} = x - 1
\]

### Paso 4: Cálculo del límite

Ahora que hemos simplificado la expresión, el límite se convierte en:

\[
\lim_{x \to -5} (x - 1)
\]

Sustituimos \(x = -5\) directamente:

\[
(-5 - 1) = -6
\]

### Respuesta final:

\[
\lim_{x \to -5} \frac{x^2 + 4x - 5}{x + 5} = -6
\]

---

### Fórmulas y conceptos usados:

1. **Indeterminación \( \frac{0}{0} \)**: Si al sustituir obtenemos una indeterminación, debemos simplificar la expresión.
2. **Factorización de polinomios**: Para simplificar, factorizamos el numerador \(x^2 + 4x - 5\).
3. **Cancelación de factores comunes**: \( (x + 5) \) es cancelado del numerador y el denominador.
4. **Cálculo del límite**: Una vez simplificada la expresión, podemos calcular el límite sustituyendo el valor de \(x\).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué otros métodos puedo usar si no puedo factorizar fácilmente?
2. ¿Cómo se resuelven límites cuando el resultado directo no es una indeterminación?
3. ¿Qué sucede si un límite involucra funciones más complejas como raíces o logaritmos?
4. ¿Cuándo se aplica la Regla de L'Hôpital para resolver límites?
5. ¿Cómo afecta la discontinuidad removible en este tipo de límites?

### Tip: 
Siempre verifica si el límite directo lleva a una indeterminación. De ser así, busca formas algebraicas o el uso de la Regla de L'Hôpital para resolver el problema.

Encuentre el valor de cada uno de los siguientes límites. Incluir el desarrollo y formulas correspondientes, entregando el análisis y respuesta a cada pregunta.

Lim x→-5  x^2+4x-5 / (x+5)

Solve the limit of the rational function (x^2 + 4x - 5) / (x + 5) as x approaches -5. This step-by-step guide includes factoring techniques, handling indeterminate forms, and calculating limits. Ideal for high school students in Grades 10-12 studying algebra and calculus.

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