Limites notáveis  qual é o valor do seguinte limite Lim(16x²+1/9x²-20) x/2x-3

Vamos calcular o limite:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{16x^2 + 1}{9x^2 - 20} \cdot \frac{x}{2x - 3}
\]

### Passo 1: Simplificar a expressão

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão. A função pode ser dividida em duas frações:

\[
f(x) = \frac{16x^2 + 1}{9x^2 - 20} \cdot \frac{x}{2x - 3}
\]

### Passo 2: Limite da primeira fração
Consideremos a primeira fração:

\[
\frac{16x^2 + 1}{9x^2 - 20}
\]

Quando \( x \to \infty \), os termos de menor ordem (o \(+1\) e o \(-20\)) se tornam irrelevantes comparados aos termos \(x^2\). Assim, podemos simplificar para:

\[
\frac{16x^2}{9x^2} = \frac{16}{9}
\]

Portanto, o limite da primeira fração é:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{16x^2 + 1}{9x^2 - 20} = \frac{16}{9}
\]

### Passo 3: Limite da segunda fração

Agora analisamos a segunda fração:

\[
\frac{x}{2x - 3}
\]

Aqui, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por \(x\):

\[
\frac{x}{2x - 3} = \frac{x}{x(2 - \frac{3}{x})} = \frac{1}{2 - \frac{3}{x}}
\]

Quando \( x \to \infty \), o termo \(\frac{3}{x}\) tende a 0, então temos:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{2x - 3} = \frac{1}{2}
\]

### Passo 4: Multiplicar os resultados

Agora, multiplicamos os limites das duas frações:

\[
\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}
\]

### Conclusão:

O valor do limite é:

\[
\boxed{\frac{8}{9}}
\]

---

Deseja mais detalhes ou alguma outra explicação? 

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como calcular limites que envolvem raízes quadradas?
2. O que acontece com termos de ordem inferior em limites no infinito?
3. Qual é a diferença entre um limite no infinito e em um ponto finito?
4. Como lidar com indeterminações do tipo \( \frac{0}{0} \) ao calcular limites?
5. Quando devemos usar a regra de L'Hôpital para calcular limites?

**Dica:** Ao simplificar frações racionais para \(x \to \infty\), sempre analise os termos de maior ordem no numerador e no denominador!

Limites notáveis qual é o valor do seguinte limite Lim(16x²+1/9x²-20) x/2x-3

Learn how to calculate the limit of the function lim(16x²+1)/(9x²-20) * x/(2x-3) as x tends to infinity. This problem covers advanced algebra and limit theorems, suitable for Grades 10-12 students.

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