5-	Usted es el encargado de recibir un lote de envases de plástico y debe tomar la decisión de aceptarlo o no, según las especificaciones de calidad el lote se acepta si el porcentaje de envases defectuoso es menor o igual a un 5%, para ello usted selecciona una muestra aleatoria de 100 envases de este lote y observa que 9 de ellos estaban con defectos. Usando un nivel de significancia del 5%
a.	¿Debe usted aceptar o no el lote? Sustente su respuesta con un procedimiento de prueba de hipótesis.
b.	Calcule el valor p de la prueba anterior y concluya con base en el.


Para resolver este problema, realizaremos una prueba de hipótesis para determinar si se debe aceptar el lote de envases de plástico basado en la proporción de defectuosos observada en la muestra. Dado que utilizaremos un nivel de significancia del 5%, seguiremos los pasos estándar para una prueba de hipótesis de proporciones.

### a. Prueba de Hipótesis

**Paso 1: Definir las hipótesis**

- **Hipótesis nula (\(H_0\))**: La proporción de envases defectuosos en el lote es menor o igual al 5%.
  
  \[
  H_0: p \leq 0.05
  \]

- **Hipótesis alternativa (\(H_a\))**: La proporción de envases defectuosos en el lote es mayor al 5%.

  \[
  H_a: p > 0.05
  \]

Este es un caso de prueba de cola derecha (o prueba unilateral a la derecha).

**Paso 2: Calcular la proporción muestral**

La proporción de envases defectuosos en la muestra (\( \hat{p} \)) se calcula como:

\[
\hat{p} = \frac{\text{número de envases defectuosos}}{\text{tamaño de la muestra}} = \frac{9}{100} = 0.09
\]

**Paso 3: Calcular el estadístico de prueba**

El estadístico de prueba para una proporción se calcula utilizando la fórmula de la prueba Z para proporciones:

\[
Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}}}
\]

donde:

- \(\hat{p} = 0.09\) (proporción muestral)
- \(p_0 = 0.05\) (proporción poblacional según la hipótesis nula)
- \(n = 100\) (tamaño de la muestra)

Sustituyendo los valores:

\[
Z = \frac{0.09 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05 \cdot (1 - 0.05)}{100}}}
\]

Calculamos la raíz cuadrada:

\[
Z = \frac{0.09 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05 \cdot 0.95}{100}}} = \frac{0.04}{\sqrt{\frac{0.0475}{100}}} = \frac{0.04}{\sqrt{0.000475}}
\]

\[
Z = \frac{0.04}{0.02179} \approx 1.835
\]

**Paso 4: Determinar el nivel crítico y tomar la decisión**

Con un nivel de significancia del 5% y dado que es una prueba de cola derecha, el valor crítico \(Z_c\) es aproximadamente 1.645 (para un nivel de significancia del 5%).

- Si \(Z > Z_c\), rechazamos la hipótesis nula \(H_0\).
- Si \(Z \leq Z_c\), no rechazamos la hipótesis nula \(H_0\).

En este caso, \(Z = 1.835 > 1.645\).

**Conclusión para la parte (a):** Rechazamos la hipótesis nula \(H_0\). Por lo tanto, no debemos aceptar el lote ya que hay evidencia suficiente para concluir que la proporción de envases defectuosos es mayor al 5%.

### b. Calcular el valor p

El valor p representa la probabilidad de obtener un estadístico de prueba al menos tan extremo como el calculado, suponiendo que la hipótesis nula es verdadera.

Dado que el valor de \(Z\) calculado es 1.835, buscamos el valor p correspondiente en la tabla de la distribución normal estándar.

\[
P(Z > 1.835) \approx 0.0333
\]

**Conclusión para la parte (b):** El valor p es aproximadamente 0.0333, lo cual es menor que el nivel de significancia de 0.05. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula \(H_0\) y concluimos que el lote no debe ser aceptado.

### Resumen de la decisión

Dado que tanto el resultado de la prueba de hipótesis como el valor p indican rechazar la hipótesis nula, **no se debe aceptar el lote de envases de plástico**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se interpretan los resultados de una prueba de hipótesis en diferentes contextos?
2. ¿Qué sucede si cambiamos el nivel de significancia a un valor más alto o más bajo?
3. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra a los resultados de la prueba de hipótesis?
4. ¿Qué otros tipos de pruebas de hipótesis existen y cuándo se utilizan?
5. ¿Cómo se calculan intervalos de confianza para proporciones y cómo se utilizan en la toma de decisiones?

**Tip:** En pruebas de hipótesis, siempre verifique si las suposiciones de la prueba (como la normalidad o el tamaño de la muestra) son válidas para obtener resultados confiables.

Learn how to make a decision on accepting a plastic packaging lot based on hypothesis testing for proportions. This problem involves testing whether the proportion of defective items in a sample meets quality standards. Suitable for university-level students and professionals.

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