EJERCICIO 3 
El Sr. José realizó los siguientes movimientos en su caja de ahorro del banco BB:  
• 31.12.99 saldo inicial: U$S 1.000.  
• 15.01.00 depositó U$S 1.000.  
• 28.02.00 retiró U$S 500.  
• 31.05.00 depositó U$S 2.000.  
• 30.06.00 retiró U$S 800.  
SE PIDE:  
a. Sabiendo que el banco le otorga un interés del 1 % efectivo mensual, determinar el monto que tenía 
en su cuenta al 31.08.00.  
b. ¿Cuánto tenía que depositar el 31.08.00, si deseaba obtener U$S 10.000 en su cuenta al 31.12.00? 

Este ejercicio involucra movimientos de dinero en una cuenta de ahorro con interés compuesto mensual. Vamos a desglosar las operaciones para resolver ambas partes del problema.

### Parte a: Determinar el monto en la cuenta al 31.08.00

Sabemos que el Sr. José comienza con un saldo inicial de U$S 1.000 el 31.12.99 y realiza una serie de depósitos y retiros. Además, el banco otorga un interés efectivo mensual del 1 %, lo que implica que el dinero se incrementa en un 1 % al final de cada mes. Vamos a analizar cada paso de la evolución de su saldo, tomando en cuenta el interés.

#### 1. Saldo inicial:
- **31.12.99**: Saldo inicial = U$S 1.000

#### 2. Depósito el 15.01.00:
- Antes del depósito, el saldo de U$S 1.000 acumula un interés del 1 % durante enero.
- Saldo al 31.01.00: $ 1000 \times 1.01 = 1010 $
- El **15.01.00**, el Sr. José deposita U$S 1.000 adicionales.
- Saldo al 15.01.00 (justo después del depósito): $ 1010 + 1000 = 2010 $

#### 3. Interés en febrero:
- Este saldo de U$S 2.010 acumula un 1 % de interés en febrero.
- Saldo al 28.02.00, antes del retiro: $ 2010 \times 1.01 = 2030.10 $

#### 4. Retiro el 28.02.00:
- El Sr. José retira U$S 500.
- Saldo justo después del retiro: $ 2030.10 - 500 = 1530.10 $

#### 5. Interés en marzo, abril y mayo:
- Este saldo de U$S 1.530,10 acumula un 1 % mensual durante marzo, abril y mayo.
- Saldo al 31.05.00:  
  - Marzo: $ 1530.10 \times 1.01 = 1545.401 $  
  - Abril: $ 1545.401 \times 1.01 = 1560.85501 $  
  - Mayo: $ 1560.85501 \times 1.01 = 1576.46355 $

#### 6. Depósito el 31.05.00:
- El Sr. José deposita U$S 2.000 adicionales.
- Saldo justo después del depósito: $ 1576.46355 + 2000 = 3576.46355 $

#### 7. Interés en junio:
- El saldo de U$S 3.576,46 acumula 1 % de interés en junio.
- Saldo al 30.06.00, antes del retiro: $ 3576.46355 \times 1.01 = 3612.22818 $

#### 8. Retiro el 30.06.00:
- El Sr. José retira U$S 800.
- Saldo justo después del retiro: $ 3612.22818 - 800 = 2812.22818 $

#### 9. Interés en julio y agosto:
- Este saldo de U$S 2.812,23 acumula un 1 % mensual durante julio y agosto.
- Saldo al 31.08.00:  
  - Julio: $ 2812.22818 \times 1.01 = 2840.35046 $  
  - Agosto: $ 2840.35046 \times 1.01 = 2868.75397 $

Por lo tanto, al **31.08.00**, el Sr. José tiene **U$S 2.868,75** en su cuenta.

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### Parte b: ¿Cuánto tenía que depositar el 31.08.00 para tener U$S 10.000 al 31.12.00?

Ahora, queremos calcular cuánto debe depositar el 31.08.00 para que, con el interés del 1 % mensual, su saldo llegue a U$S 10.000 el 31.12.00.

El monto que tendrá al 31.12.00 (denotado como $ M $) está dado por la fórmula del interés compuesto:
\[
M = P \times (1 + i)^n
\]
Donde:
- $ M = 10,000 $
- $ P $ es el saldo después del depósito del 31.08.00 (que necesitamos calcular).
- $ i = 0.01 $ (1 % de interés mensual).
- $ n = 4 $ meses (de agosto a diciembre).

El saldo en la cuenta el 31.08.00 es de U$S 2.868,75, así que el nuevo depósito necesario será $ x $.

El total del saldo (actual + depósito) debe crecer a U$S 10.000 en 4 meses:
\[
(2868.75397 + x) \times (1.01)^4 = 10000
\]
Resolviendo esta ecuación para $ x $, encontramos cuánto debe depositar el 31.08.00.

Voy a calcularlo.El Sr. José tendría que depositar **U$S 6.741,05** el 31.08.00 para que su saldo alcance los **U$S 10.000** al 31.12.00, considerando un interés mensual del 1 %.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el interés compuesto mensual?
2. ¿Qué ocurre si el interés no fuera mensual, sino anual?
3. ¿Cómo afectaría un retiro adicional en septiembre a la proyección de saldo?
4. ¿Qué otros tipos de interés podrían aplicarse a una cuenta de ahorro?
5. ¿Cómo se podría planificar una inversión similar con diferentes tasas de interés?

**Tip:** En situaciones de interés compuesto, el tiempo es un factor clave para maximizar el crecimiento de una inversión.

EJERCICIO 3
El Sr. José realizó los siguientes movimientos en su caja de ahorro del banco BB: 
• 31.12.99 saldo inicial: U$S 1.000. 
• 15.01.00 depositó U$S 1.000. 
• 28.02.00 retiró U$S 500. 
• 31.05.00 depositó U$S 2.000. 
• 30.06.00 retiró U$S 800. 
SE PIDE: 
a. Sabiendo que el banco le otorga un interés del 1 % efectivo mensual, determinar el monto que tenía en su cuenta al 31.08.00. 
b. ¿Cuánto tenía que depositar el 31.08.00, si deseaba obtener U$S 10.000 en su cuenta al 31.12.00?

Solve a compound interest problem involving deposits and withdrawals in a savings account. Learn how to calculate the balance in the account after several transactions, and determine the required deposit to reach a specific target amount by a certain date. This problem uses the compound interest formula and covers key concepts in financial mathematics, suitable for high school students.

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