1. Постройте комплексное число на комплексной плоскости и укажите для него модуль и аргумент.
2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме.
 3. Выполните умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня комплексных чисел в тригонометрической форме
a) $10(cos\frac {3\pi }{4}+isin\frac {3\pi }{4}):2(cos\frac {\pi }{4}+isin\frac {\pi }{4})$ ; б) $(cos\frac {\pi }{6}+isin\frac {\pi }{6}$

### 1. Построение комплексного числа на комплексной плоскости, модуль и аргумент

Допустим, у нас есть комплексное число $ z = a + bi $, где $ a $ — действительная часть, а $ b $ — мнимая часть. Чтобы построить это число на комплексной плоскости, откладываем его как вектор с координатами $ (a, b) $, где $ a $ — ось действительных чисел, а $ b $ — ось мнимых чисел.

**Пример**: Возьмём $ z = 3 + 4i $.

- Построение: на плоскости отметим точку $ (3, 4) $.
- Модуль числа $ z $: это длина вектора, вычисляется по формуле:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
\]
- Аргумент числа $ z $: угол между вектором и положительным направлением оси $ x $, вычисляется через арктангенс:
\[
\arg(z) = \text{argtan}\left(\frac{b}{a}\right) = \text{argtan}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.93 \text{ рад} \ (\text{или } 53.13^\circ).
\]

### 2. Представление комплексного числа в тригонометрической форме

Любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме:
\[
z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right),
\]
где $ r = |z| $ — модуль числа, $ \theta = \arg(z) $ — аргумент числа.

Для числа $ z = 3 + 4i $, мы уже нашли модуль $ r = 5 $ и аргумент $ \theta \approx 0.93 $ рад.

Тригонометрическая форма:
\[
z = 5 \left( \cos 0.93 + i \sin 0.93 \right).
\]

### 3. Операции с комплексными числами в тригонометрической форме

Теперь рассмотрим умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня для комплексных чисел в тригонометрической форме. 

#### а) Деление комплексных чисел:
\[
\frac{10 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)}{2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)}
\]

- **Шаг 1: Деление модулей**:
\[
r_1 = 10, \quad r_2 = 2, \quad \frac{r_1}{r_2} = \frac{10}{2} = 5.
\]

- **Шаг 2: Вычитание аргументов**:
\[
\theta_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad \theta_2 = \frac{\pi}{4}, \quad \theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
\]

- **Ответ**:
\[
\frac{z_1}{z_2} = 5 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).
\]
Это комплексное число равно $ 5i $.

#### б) Возведение в степень:
\[
\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)^n.
\]

Для возведения в степень $ n $ используем формулу Муавра:
\[
z^n = r^n \left( \cos (n\theta) + i \sin (n\theta) \right).
\]

Если $ n = 3 $, тогда:
- Модуль остаётся $ r = 1 $ (так как изначальный модуль равен 1),
- Аргумент: $ 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.

Ответ:
\[
\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)^3 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i.
\]

### Вывод:
1. Комплексное число можно строить на плоскости через его действительную и мнимую часть, модуль равен длине вектора, а аргумент — это угол.
2. Тригонометрическая форма удобна для выполнения операций над комплексными числами.
3. Операции с комплексными числами в тригонометрической форме облегчают умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Есть ли у вас вопросы или хотите подробное пояснение? Вот 5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как определить аргумент комплексного числа, если оно находится в разных квадрантах?
2. Как изменить модуль и аргумент, если комплексное число умножается на действительное число?
3. Каковы основные преимущества тригонометрической формы для вычислений?
4. Как происходит извлечение корней из комплексного числа?
5. Какая связь между алгебраической и тригонометрической формами?

**Совет**: при выполнении делений или возведения в степень комплексных чисел лучше всего использовать тригонометрическую форму, так как операции с модулями и аргументами проще.

1. Постройте комплексное число на комплексной плоскости и укажите для него модуль и аргумент. 2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме. 3. Выполните умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня комплексных чисел в тригонометрической форме a) $10(cos\frac {3\pi }{4}+isin\frac {3\pi }{4}):2(cos\frac {\pi }{4}+isin\frac {\pi }{4})$ ; б) $(cos\frac {\pi }{6}+isin\frac {\pi }{6}$

Learn how to perform operations with complex numbers in trigonometric form, including multiplication, division, and exponentiation. This problem covers key mathematical concepts such as modulus, argument, and De Moivre's theorem. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation