 En un pentágono convexo la medida 
de sus ángulos están en progresión 
aritmética de razón r. Si r es el mayor 
valor entero posible. Calcular la medida 
del menor ángulo.

Un pentágono convexo tiene cinco ángulos internos, cuya suma siempre es \( 540^\circ \) debido a que la fórmula para la suma de los ángulos internos de un polígono es:

\[
S = 180^\circ \times (n - 2)
\]
donde \( n \) es el número de lados. Para un pentágono, \( n = 5 \), así que:

\[
S = 180^\circ \times (5 - 2) = 540^\circ
\]

Si los ángulos están en progresión aritmética con una razón \( r \), entonces podemos denotar los cinco ángulos como:

\[
a, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r
\]

La suma de estos cinco ángulos debe ser igual a \( 540^\circ \). Entonces tenemos la ecuación:

\[
a + (a + r) + (a + 2r) + (a + 3r) + (a + 4r) = 540^\circ
\]

Simplificamos:

\[
5a + 10r = 540^\circ
\]

Dividiendo entre 5:

\[
a + 2r = 108^\circ \quad (1)
\]

Nuestro objetivo es encontrar el valor del ángulo más pequeño, que es \( a \). Además, como los ángulos deben ser positivos y menores de \( 180^\circ \), buscamos el mayor valor entero posible de \( r \).

De la ecuación \( a + 2r = 108^\circ \), despejamos \( a \):

\[
a = 108^\circ - 2r
\]

Para que los ángulos sean menores de \( 180^\circ \), el ángulo mayor es \( a + 4r \). Entonces:

\[
a + 4r < 180^\circ
\]

Sustituyendo \( a = 108^\circ - 2r \):

\[
108^\circ - 2r + 4r < 180^\circ
\]

\[
108^\circ + 2r < 180^\circ
\]

\[
2r < 72^\circ
\]

\[
r < 36^\circ
\]

El valor máximo de \( r \) es \( 35^\circ \). Ahora, sustituimos este valor en la ecuación \( (1) \):

\[
a + 2(35^\circ) = 108^\circ
\]

\[
a + 70^\circ = 108^\circ
\]

\[
a = 108^\circ - 70^\circ = 38^\circ
\]

Por lo tanto, la medida del ángulo menor es \( \boxed{38^\circ} \).

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan los ángulos interiores de otros polígonos?
2. ¿Cómo afecta la razón en la progresión aritmética a los ángulos en un polígono?
3. ¿Qué es una progresión aritmética y cómo se aplica en geometría?
4. ¿Cómo se resuelven problemas similares con otros valores de \( r \)?
5. ¿Qué otras propiedades tiene un pentágono convexo?

### Tip:
Recuerda que la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono se puede calcular con la fórmula \( 180^\circ \times (n - 2) \), donde \( n \) es el número de lados.

En un pentágono convexo la medida de sus ángulos están en progresión aritmética de razón r. Si r es el mayor valor entero posible. Calcular la medida del menor ángulo.

Aprende a calcular la medida del menor ángulo en un pentágono convexo donde los ángulos están en progresión aritmética con razón máxima. Este problema involucra conceptos de geometría y progresión aritmética. La solución incluye las fórmulas de suma de ángulos interiores y progresiones, adecuada para estudiantes de secundaria (Grades 9-12).

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