חשבו, על ידי החלפת סדר האינטגרציה, את האינטגרל הבא: \int_{25}^{61}dx\int_{\sqrt{x-25}}^{6}\cos\left(\frac{\left(\pi\cdot\left(x-25\right)\right)}{2\cdot y}\right)dy

כדי לחשב את האינטגרל הנתון על ידי החלפת סדר האינטגרציה, יש להתחיל בלהבין את תחום האינטגרציה הנוכחי.

האינטגרל הנתון הוא:
\[
\int_{25}^{61} \int_{\sqrt{x-25}}^{6} \cos\left(\frac{\pi \cdot (x-25)}{2y}\right) \, dy \, dx
\]

תחומי האינטגרציה הם:
- \( x \) נע בין \( 25 \) ל-\( 61 \).
- עבור כל ערך של \( x \), \( y \) נע בין \( \sqrt{x-25} \) ל-\( 6 \).

כדי להחליף את סדר האינטגרציה, יש לבחון תחילה את תחום האינטגרציה הנוכחי. 
מהשוויון \( \sqrt{x - 25} \leq y \leq 6 \), ניתן להסיק כי \( x \) חייב לעמוד בתנאים הבאים:
\[
\sqrt{x - 25} \leq y \implies x - 25 \leq y^2 \implies x \leq y^2 + 25
\]

מצד שני, \( x \) נע בין \( 25 \) ל-\( 61 \), כלומר \( x \geq 25 \) וגם \( x \leq y^2 + 25 \).

הגבולות החדשים לאחר החלפת סדר האינטגרציה יהיו:
- \( y \) נע בין \( 0 \) ל-\( 6 \).
- עבור כל ערך של \( y \), \( x \) נע בין \( 25 \) ל-\( y^2 + 25 \).

האינטגרל עם הגבולות החדשים הוא:
\[
\int_{0}^{6} \int_{25}^{y^2 + 25} \cos\left(\frac{\pi \cdot (x-25)}{2y}\right) \, dx \, dy
\]

עכשיו נבצע את האינטגרציה הפנימית (לפי \( x \)):

\[
\int_{25}^{y^2 + 25} \cos\left(\frac{\pi \cdot (x-25)}{2y}\right) \, dx
\]

ביצוע האינטגרציה הפנימית יתבצע על ידי שימוש באינטגרל של קוסינוס:
\[
\int \cos(ax) \, dx = \frac{\sin(ax)}{a}
\]

הנגזרת של הפונקציה שבתוך הקוסינוס היא \( \frac{\pi}{2y} \), ולכן נקבל:
\[
\int \cos\left(\frac{\pi \cdot (x-25)}{2y}\right) \, dx = \frac{2y}{\pi} \sin\left(\frac{\pi \cdot (x-25)}{2y}\right)
\]

נשתמש בתוצאה זו ונחשב את האינטגרל לפי \( x \):
\[
\frac{2y}{\pi} \left[ \sin\left(\frac{\pi \cdot (x-25)}{2y}\right) \right]_{25}^{y^2 + 25}
\]

חישוב הערכים בסוגריים ייתן:
\[
\frac{2y}{\pi} \left(\sin\left(\frac{\pi \cdot (y^2)}{2y}\right) - \sin\left(0\right)\right) = \frac{2y}{\pi} \sin\left(\frac{\pi y}{2}\right)
\]

לכן, האינטגרל הכולל הוא:
\[
\int_{0}^{6} \frac{2y}{\pi} \sin\left(\frac{\pi y}{2}\right) \, dy
\]

נבצע כעת אינטגרציה לפי \( y \). 

האינטגרל הסופי:
\[
\frac{2}{\pi} \int_{0}^{6} y \sin\left(\frac{\pi y}{2}\right) \, dy
\]

חישוב אינטגרל זה נעשה באמצעות שימוש בשיטות אינטגרציה מתקדמות כמו אינטגרציה בחלקים.

האם תרצה פרטים נוספים על השלב האחרון של האינטגרציה או על כל חלק אחר בתהליך?

**שאלות קשורות:**
1. מהו אינטגרל בחלקים ואיך הוא רלוונטי כאן?
2. כיצד ניתן לחשב את האינטגרל של מכפלת פונקציות בצורה כללית?
3. מהי חשיבות החלפת סדר האינטגרציה בבעיות מתמטיות?
4. כיצד משתמשים במעבר לתנאים פולאריים לפתרון אינטגרלים מסובכים?
5. מה ההבדל בין אינטגרלים בחדו"א לאינטגרלים מרובים?
6. כיצד מבצעים אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות מורכבות?
7. מה ההבדל בין שיטות אינטגרציה מתקדמות כגון אינטגרציה בחלקים ואינטגרציה בעזרת שינוי משתנים?
8. אילו פונקציות אחרות נפוצות בשימוש לצורך אינטגרציה מתקדמת?

**טיפ**: כאשר נתקלת באינטגרל מסובך, לעיתים כדאי לבדוק אם ניתן להחליף את סדר האינטגרציה, פעולה זו יכולה לפשט את הפתרון.

Learn how to calculate a double integral by changing the order of integration step-by-step. This problem involves advanced mathematical concepts like double integration, trigonometric integration, and integration by substitution. Suitable for advanced college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation