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Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación (Regla de la cadena y Algebra de derivadas), luego evaluar en un punto x (escogido por el estudiante) y, finalmente realizar la gráfica y la comprobación mediante GeoGebra. Recuerde que uno de los elementos a evaluar en la actividad es al análisis gráfico a través de esta aplicación. 

Para calcular la derivada de la función asignada \( f(x) = [\cos(x^2 + 3)]^2 + \sen(e^{-x}) \), debemos aplicar las reglas de derivación, incluyendo la regla de la cadena y el álgebra de derivadas. Procederemos paso a paso.

### 1. Derivada de \( [\cos(x^2 + 3)]^2 \):

Sea \( u = \cos(x^2 + 3) \), entonces \( [\cos(x^2 + 3)]^2 = u^2 \).

Aplicamos la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx}[u^2] = 2u \cdot \frac{du}{dx} \]

Ahora, derivamos \( u \) respecto a \( x \):
\[ u = \cos(x^2 + 3) \]
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \cos(x^2 + 3) \]
Utilizamos la regla de la cadena nuevamente para esta derivada:
\[ \frac{d}{dx} \cos(x^2 + 3) = -\sen(x^2 + 3) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 3) \]
\[ \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x \]
Entonces,
\[ \frac{du}{dx} = -\sen(x^2 + 3) \cdot 2x \]

Sustituimos esto en la derivada de \( u^2 \):
\[ \frac{d}{dx} [\cos(x^2 + 3)]^2 = 2 \cos(x^2 + 3) \cdot (-\sen(x^2 + 3) \cdot 2x) \]
\[ = -4x \cos(x^2 + 3) \sen(x^2 + 3) \]

### 2. Derivada de \( \sen(e^{-x}) \):

Aplicamos la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx} \sen(e^{-x}) = \cos(e^{-x}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) \]
\[ \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x} \]
Entonces,
\[ \frac{d}{dx} \sen(e^{-x}) = \cos(e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \]
\[ = -e^{-x} \cos(e^{-x}) \]

### 3. Derivada total de \( f(x) \):

Sumamos las derivadas obtenidas:
\[ f'(x) = -4x \cos(x^2 + 3) \sen(x^2 + 3) - e^{-x} \cos(e^{-x}) \]

### 4. Evaluación de la derivada en un punto específico:

Escogemos un punto \( x = a \) para evaluar la derivada. Por ejemplo, tomemos \( x = 1 \).

\[ f'(1) = -4(1) \cos(1^2 + 3) \sen(1^2 + 3) - e^{-1} \cos(e^{-1}) \]
\[ = -4 \cos(4) \sen(4) - \frac{1}{e} \cos\left(\frac{1}{e}\right) \]

### 5. Gráfica y comprobación en GeoGebra:

Para la gráfica y comprobación, se puede usar GeoGebra siguiendo estos pasos:
1. Graficar la función original \( f(x) = [\cos(x^2 + 3)]^2 + \sen(e^{-x}) \).
2. Graficar la derivada \( f'(x) = -4x \cos(x^2 + 3) \sen(x^2 + 3) - e^{-x} \cos(e^{-x}) \).
3. Verificar la pendiente de la tangente en el punto \( x = 1 \).

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relativas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en otras funciones compuestas?
2. ¿Qué otras reglas de derivación son importantes de recordar?
3. ¿Cómo se puede simplificar la expresión de la derivada para facilitar su evaluación?
4. ¿Cuál es la importancia de evaluar una derivada en un punto específico?
5. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada de una función?
6. ¿Qué otras herramientas además de GeoGebra pueden ser útiles para graficar funciones y sus derivadas?
7. ¿Cómo influye la derivada en la comprensión del comportamiento de una función?
8. ¿Qué diferencias existen entre la derivada de una función y su integral?

### Tip:

Recuerda que la regla de la cadena es fundamental para derivar funciones compuestas. Practicar su aplicación en diferentes contextos te ayudará a dominar esta técnica esencial.

Learn how to calculate the derivative of a function using the chain rule and algebraic derivatives. Includes step-by-step solution and graphical verification using GeoGebra. Suitable for higher education students studying calculus and mathematical analysis.

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