Phát biểu sau đây đúng hay sai?
Giả sử rằng (a,b) là một điểm tới hạn của hàm f(x,y). Giả sử
D = fxx(a,b)fyy(a,b) - [fxy(a,b)]2
Nếu D<0 thì (a,b) gọi điểm yên ngựa
Nếu D>0 và fxx(a,b) < 0, thì f có cực đại tương đối tại (a,b)
Nếu D>0 và fxx(a,b) > 0, thì f có cực tiểu tương đối tại (a,b)
Nếu D=0, thì dấu hiệu này chưa kết luận được và f có thể có cự trị tương đối

Phát biểu sau đây là **đúng**.

Để giải thích:

1. **Điểm yên ngựa (saddle point)**: 
   - Khi \( D = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2 < 0 \), tại điểm \((a,b)\), hàm \( f(x,y) \) có một điểm yên ngựa. Điều này có nghĩa là hàm có một cực đại theo một hướng và một cực tiểu theo hướng khác.

2. **Cực đại tương đối**:
   - Khi \( D > 0 \) và \( f_{xx}(a,b) < 0 \), hàm \( f(x,y) \) có cực đại tương đối tại điểm \((a,b)\). Điều này xảy ra vì \( f_{xx}(a,b) < 0 \) cho thấy hàm lõm (concave) tại điểm đó.

3. **Cực tiểu tương đối**:
   - Khi \( D > 0 \) và \( f_{xx}(a,b) > 0 \), hàm \( f(x,y) \) có cực tiểu tương đối tại điểm \((a,b)\). Điều này xảy ra vì \( f_{xx}(a,b) > 0 \) cho thấy hàm lồi (convex) tại điểm đó.

4. **D = 0**:
   - Nếu \( D = 0 \), thì dấu hiệu này chưa đủ để kết luận và cần phải kiểm tra thêm để biết điểm đó có phải là cực trị hay không.

Vì vậy, tất cả các mệnh đề trong phát biểu trên là chính xác.

Bạn có muốn thêm chi tiết hoặc có bất kỳ câu hỏi nào khác không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để tính các đạo hàm bậc hai của hàm \( f(x, y) \)?
2. Một điểm yên ngựa có ý nghĩa gì trong ứng dụng thực tế?
3. Điều gì xảy ra nếu \( D = 0 \) và \( f_{xy}(a,b) \) cũng bằng 0?
4. Làm sao để xác định liệu một điểm có phải là cực đại hoặc cực tiểu nếu \( f_{xx}(a,b) \) bằng 0?
5. Trong trường hợp tổng quát hơn, các điều kiện đủ để có cực đại hoặc cực tiểu là gì?

**Tip:** Để xác định các điểm cực trị của hàm nhiều biến, hãy luôn bắt đầu bằng cách tính các đạo hàm bậc nhất và bậc hai, sau đó sử dụng các định lý để kết luận về tính chất của các điểm đó.

Explore the Second Partial Derivative Test in multivariable calculus with detailed explanations and examples. Learn how to determine saddle points, relative maxima, and relative minima of functions of two variables. Suitable for university-level students and enthusiasts of calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation