tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hs y=5x-6/x^2+5x+6

Để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = \frac{5x - 6}{x^2 + 5x + 6} \), ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \) với \( u(x) = 5x - 6 \) và \( v(x) = x^2 + 5x + 6 \).

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\[
y' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

Tính các đạo hàm:

\[
u'(x) = 5
\]

\[
v'(x) = 2x + 5
\]

Thay vào công thức đạo hàm:

\[
y' = \frac{5 \cdot (x^2 + 5x + 6) - (5x - 6) \cdot (2x + 5)}{(x^2 + 5x + 6)^2}
\]

Khai triển và rút gọn tử số:

\[
y' = \frac{5x^2 + 25x + 30 - (10x^2 + 25x - 12x - 30)}{(x^2 + 5x + 6)^2}
\]

\[
y' = \frac{5x^2 + 25x + 30 - 10x^2 - 13x + 30}{(x^2 + 5x + 6)^2}
\]

\[
y' = \frac{-5x^2 + 12x}{(x^2 + 5x + 6)^2}
\]

Rút gọn:

\[
y' = \frac{-x(5x - 12)}{(x^2 + 5x + 6)^2}
\]

### Bước 2: Xét dấu đạo hàm \( y' \)
Hàm số đồng biến khi \( y' > 0 \) và nghịch biến khi \( y' < 0 \).

Xét dấu của tử số \( -x(5x - 12) \):

1. \( -x(5x - 12) > 0 \):
   - \( x < 0 \) và \( 5x - 12 < 0 \) hoặc
   - \( x > 0 \) và \( 5x - 12 > 0 \)

2. \( -x(5x - 12) < 0 \):
   - \( x < 0 \) và \( 5x - 12 > 0 \) hoặc
   - \( x > 0 \) và \( 5x - 12 < 0 \)

Giải các bất phương trình:

- \( 5x - 12 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \)
- \( x < 0 \) và \( 5x < 12 \) (nghịch biến)
- \( x > 2.4 \) (đồng biến)

Vậy, hàm số:

- **Đồng biến** trên khoảng \( \left(2.4, +\infty\right) \)
- **Nghịch biến** trên các khoảng \( \left(-\infty, 0\right) \) và \( \left(0, 2.4\right) \)

Nếu có câu hỏi nào cần giải đáp chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!

### Các câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để tìm nghiệm của phương trình liên quan đến hàm bậc hai?
2. Tại sao ta cần xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến?
3. Đạo hàm của một hàm phân thức thường có dạng gì?
4. Các khoảng đồng biến, nghịch biến có ý nghĩa như thế nào đối với đồ thị của hàm số?
5. Cách tìm cực trị của hàm số dựa trên đạo hàm như thế nào?

### Mẹo:
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, hãy luôn nhớ rằng đạo hàm dương thì hàm số đồng biến, và đạo hàm âm thì hàm số nghịch biến.

Hướng dẫn chi tiết cách tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = (5x - 6) / (x^2 + 5x + 6). Bài toán bao gồm việc tính đạo hàm và phân tích dấu đạo hàm để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến. Phù hợp với học sinh từ lớp 10 đến lớp 12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation