Numa determinada Universidade, verificou-se que de entre os alunos do 1º
ano:
51 % estão inscritos em Análise
62 % estão inscritos em Estatística
40 % estão inscritos em Probabilidades
28 % estão inscritos simultaneamente em Análise e Estatística
21 % estão inscritos simultaneamente em Análise e Probabilidades
24 % estão inscritos simultaneamente em Estatística e Probabilidades
10 % estão inscritos simultaneamente em Análise, Estatística e Probabilidades
a) Represente num diagrama de Venn, os acontecimentos anteriores.
b) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso:
1) Estar inscrito em Análise ou Estatística
2) Estar inscrito só em Análise e Estatística
3) Estar inscrito em pelo menos uma das cadeiras
4) Estar inscrito só em Probabilidades
5) Não estar inscrito em nenhuma das cadeiras consideradas

### a) Diagrama de Venn

Para representar a situação num diagrama de Venn, consideramos três conjuntos:

- \( A \): Alunos inscritos em Análise
- \( E \): Alunos inscritos em Estatística
- \( P \): Alunos inscritos em Probabilidades

Os dados fornecidos são:

- \( P(A) = 0,51 \)
- \( P(E) = 0,62 \)
- \( P(P) = 0,40 \)
- \( P(A \cap E) = 0,28 \)
- \( P(A \cap P) = 0,21 \)
- \( P(E \cap P) = 0,24 \)
- \( P(A \cap E \cap P) = 0,10 \)

O diagrama de Venn deve ter três círculos que se intersectam, cada um representando um dos conjuntos \( A \), \( E \), e \( P \). As interseções são preenchidas com as probabilidades conforme indicado. Aqui está como você pode preencher as regiões do diagrama:

1. **Interseção tripla (\(A \cap E \cap P\))**: \( 10\% \)
2. **Interseção entre Análise e Estatística, excluindo Probabilidades (\(A \cap E \setminus P\))**: \( 28\% - 10\% = 18\% \)
3. **Interseção entre Análise e Probabilidades, excluindo Estatística (\(A \cap P \setminus E\))**: \( 21\% - 10\% = 11\% \)
4. **Interseção entre Estatística e Probabilidades, excluindo Análise (\(E \cap P \setminus A\))**: \( 24\% - 10\% = 14\% \)
5. **Somente Análise (\(A \setminus E \cap P\))**: \( 51\% - 18\% - 11\% - 10\% = 12\% \)
6. **Somente Estatística (\(E \setminus A \cap P\))**: \( 62\% - 18\% - 14\% - 10\% = 20\% \)
7. **Somente Probabilidades (\(P \setminus A \cap E\))**: \( 40\% - 11\% - 14\% - 10\% = 5\% \)

### b) Cálculos de Probabilidade

Agora, vamos calcular as probabilidades solicitadas:

1. **Probabilidade de um aluno estar inscrito em Análise ou Estatística (\(P(A \cup E)\)):**
   \[
   P(A \cup E) = P(A) + P(E) - P(A \cap E) = 0,51 + 0,62 - 0,28 = 0,85 \text{ ou } 85\%
   \]

2. **Probabilidade de um aluno estar inscrito só em Análise e Estatística (\(P(A \cap E \setminus P)\)):**
   \[
   P(A \cap E \setminus P) = P(A \cap E) - P(A \cap E \cap P) = 0,28 - 0,10 = 0,18 \text{ ou } 18\%
   \]

3. **Probabilidade de um aluno estar inscrito em pelo menos uma das cadeiras (\(P(A \cup E \cup P)\)):**
   \[
   P(A \cup E \cup P) = P(A) + P(E) + P(P) - P(A \cap E) - P(A \cap P) - P(E \cap P) + P(A \cap E \cap P)
   \]
   \[
   = 0,51 + 0,62 + 0,40 - 0,28 - 0,21 - 0,24 + 0,10 = 0,90 \text{ ou } 90\%
   \]

4. **Probabilidade de um aluno estar inscrito só em Probabilidades (\(P(P \setminus (A \cup E))\)):**
   \[
   P(P \setminus (A \cup E)) = 5\% 
   \]

5. **Probabilidade de um aluno não estar inscrito em nenhuma das cadeiras consideradas (\(\bar{P}(A \cup E \cup P)\)):**
   \[
   P(\text{nenhuma}) = 1 - P(A \cup E \cup P) = 1 - 0,90 = 0,10 \text{ ou } 10\%
   \]

---

Deseja mais detalhes sobre algum desses cálculos ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como podemos verificar a consistência dos dados fornecidos?
2. Como mudar as probabilidades se adicionarmos outra matéria?
3. Como calcular a probabilidade condicional de estar inscrito em Probabilidades dado que está inscrito em Análise?
4. Como seriam os cálculos se tivéssemos percentagens de alunos que falham em cada matéria?
5. Como aplicar essa lógica em outro contexto, como cursos de pós-graduação?

**Dica:** Sempre verifique se a soma das probabilidades nas interseções e exclusões é consistente com a soma das probabilidades totais para evitar erros.

Explore the analysis of probabilities and set theory in university-level education. Solve complex problems involving Venn diagrams and calculate probabilities of student enrollments in different courses. Understand how to represent overlapping events and calculate specific probabilities.

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