Sie haben die fünf Ziffern 1, 2, 2, 3, 4 und sollen aus diesen alle möglichen fünfstelligen Zahlen bilden. Die Zahlen sind der Grösse nach geordnet. Zeig mir die Liste mit allen zahlen die mit diesen Ziffern gebildet werden können der grösse nach geordnet

Um alle möglichen fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1, 2, 2, 3, 4 zu bilden, müssen wir alle Permutationen dieser Ziffern betrachten, wobei wir beachten, dass die Ziffer 2 zweimal vorkommt. Durch die doppelte Ziffer gibt es weniger einzigartige Permutationen, als wenn alle Ziffern unterschiedlich wären.

Zunächst bestimmen wir, wie viele verschiedene Zahlen wir bilden können. Die Anzahl der möglichen Permutationen wird durch die folgende Formel bestimmt:

\[
\frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \cdots \cdot k_r!}
\]

Dabei ist \( n \) die Gesamtanzahl der Ziffern und \( k_i \) die Anzahl der Wiederholungen jeder Ziffer. In diesem Fall haben wir:

\[
n = 5 \quad \text{und} \quad k_2 = 2 \quad (\text{weil die Ziffer 2 zweimal vorkommt})
\]

Die Anzahl der Permutationen ist also:

\[
\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
\]

Nun listen wir die Permutationen der Ziffern der Größe nach auf:

**Liste der fünfstelligen Zahlen:**

11223, 11232, 11322, 12123, 12132, 12213, 12231, 12312, 12321,  
13122, 13212, 13221, 21123, 21132, 21213, 21231, 21312, 21321,  
22113, 22131, 22311, 23112, 23121, 23211, 31122, 31212, 31221,  
32112, 32121, 32211, 41122, 41212, 41221, 42112, 42121, 42211,  
43112, 43121, 43211, 11234, 11243, 11324, 11342, 11423, 11432,  
12134, 12143, 12314, 12341, 12413, 12431, 13124, 13142, 13214,  
13241, 13412, 13421, 14123, 14132, 14213, 14231, 14312, 14321.

Das sind alle möglichen fünfstelligen Zahlen, die mit den Ziffern 1, 2, 2, 3 und 4 gebildet werden können, der Größe nach geordnet.

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Hier sind einige verwandte Fragen:

1. Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen für Ziffern mit mehr als zwei Wiederholungen?
2. Was ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen?
3. Wie würde sich die Anzahl der möglichen Zahlen ändern, wenn keine Ziffern wiederholt wären?
4. Kann man das Problem auch mit anderen Ziffern lösen und wie verändert sich die Lösung?
5. Was wäre die kleinste und größte Zahl, die mit diesen Ziffern gebildet werden kann?

**Tipp:** Bei Permutationen mit Wiederholungen werden doppelte Anordnungen nicht gezählt, was die Anzahl möglicher Ergebnisse reduziert.

Sie haben die fünf Ziffern 1, 2, 2, 3, 4 und sollen aus diesen alle möglichen fünfstelligen Zahlen bilden. Die Zahlen sind der Grösse nach geordnet. Zeig mir die Liste mit allen zahlen die mit diesen Ziffern gebildet werden können der grösse nach geordnet.

Explore how to form all possible five-digit numbers using the digits 1, 2, 2, 3, and 4, with the result sorted in ascending order. This problem uses permutations with repetition and covers essential combinatorics concepts. Suitable for Grades 9-12.

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