Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura h e largura w. A rigidez S da viga é diretamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua altura. Quais são as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro? (Sugestão: S = kh2w, em que k > 0 é a constante de proporcionalidade.)

Para encontrar as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro, seguimos o raciocínio baseado na sugestão de que a rigidez \( S \) da viga é proporcional à largura \( w \) e ao quadrado da altura \( h \), ou seja, \( S = k h^2 w \), onde \( k \) é uma constante de proporcionalidade.

A seção transversal da viga deve estar contida em um círculo com diâmetro de 4 cm, ou seja, o raio \( r \) do círculo é:
\[ r = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \]

A viga mais rígida terá uma seção transversal retangular \( h \times w \) inscrita no círculo. Dessa forma, os valores de \( h \) e \( w \) precisam satisfazer a equação de uma elipse:
\[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 = r^2 \]
Substituindo \( r = 2 \text{ cm} \):
\[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 = 2^2 \]
\[ \frac{h^2}{4} + \frac{w^2}{4} = 4 \]
Multiplicando por 4:
\[ h^2 + w^2 = 16 \]

Queremos maximizar \( S = k h^2 w \) sob a restrição \( h^2 + w^2 = 16 \).

Para resolver este problema de otimização, utilizamos os multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
\[ \mathcal{L}(h, w, \lambda) = h^2 w + \lambda (16 - h^2 - w^2) \]

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h} = 2hw - 2h\lambda = 0 \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w} = h^2 - 2w\lambda = 0 \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 16 - h^2 - w^2 = 0
\]

Da primeira equação:
\[ 2hw = 2h\lambda \implies w = \lambda \]

Da segunda equação:
\[ h^2 = 2w\lambda \implies h^2 = 2w^2 \]

Substituindo na última equação:
\[ h^2 + w^2 = 16 \]
\[ h^2 + \left(\frac{h^2}{2}\right) = 16 \]
\[ \frac{3h^2}{2} = 16 \]
\[ 3h^2 = 32 \]
\[ h^2 = \frac{32}{3} \]
\[ h = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3.27 \text{ cm} \]

Para \( w \):
\[ w = \sqrt{\frac{h^2}{2}} \]
\[ w = \sqrt{\frac{32/3}{2}} \]
\[ w = \sqrt{\frac{16}{3}} \approx 2.31 \text{ cm} \]

Portanto, as dimensões \( h \) e \( w \) da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro são aproximadamente:
\[ h \approx 3.27 \text{ cm} \]
\[ w \approx 2.31 \text{ cm} \]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

1. Qual é a importância da constante de proporcionalidade \( k \) na equação da rigidez?
2. Como se pode verificar se as dimensões \( h \) e \( w \) estão corretas?
3. Quais são as propriedades geométricas da viga que influenciam sua rigidez?
4. Como os limites do tronco influenciam a forma final da viga?
5. Quais seriam as dimensões da viga se o tronco tivesse um diâmetro diferente?
6. Existem outros métodos para maximizar a rigidez de

Explore how to maximize the rigidity of a beam with given constraints on dimensions and diameter. This problem involves optimizing dimensions under geometric and mechanical constraints, using Lagrangian multipliers. Suitable for advanced undergraduate students and engineers.

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