Math Problem Statement

Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura h e largura w. A rigidez S da viga é diretamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua altura. Quais são as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro? (Sugestão: S = kh2w, em que k > 0 é a constante de proporcionalidade.)

Solution

Para encontrar as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro, vamos usar a relação fornecida de que a rigidez SS da viga é proporcional à largura ww e ao quadrado da altura hh, ou seja, S=kh2wS = k h^2 w, onde kk é uma constante de proporcionalidade.

Primeiro, considere que a viga deve ser cortada a partir de um tronco cilíndrico com diâmetro de 4 cm. Isso significa que a seção transversal da viga deve estar inscrita em um círculo de 4 cm de diâmetro.

Como o tronco tem um diâmetro de 4 cm, o raio rr do círculo é: r=42=2 cmr = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}

Para maximizar a rigidez SS, precisamos maximizar o produto h2wh^2 w sob a restrição de que hh e ww estão limitados pelo círculo de raio 2 cm.

A seção transversal da viga inscrita no círculo pode ser representada como um retângulo com largura ww e altura hh. Se hh e ww são os lados do retângulo, a relação geométrica dentro do círculo é: (h2)2+(w2)2=r2\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 = r^2 Substituindo r=2 cmr = 2 \text{ cm}: (h2)2+(w2)2=22\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 = 2^2 h24+w24=4\frac{h^2}{4} + \frac{w^2}{4} = 4 Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar: h2+w2=16h^2 + w^2 = 16

Queremos maximizar S=kh2wS = k h^2 w, ou seja, maximizar h2wh^2 w sujeito à restrição h2+w2=16h^2 + w^2 = 16.

Para resolver esse problema de otimização, podemos usar a técnica de multiplicadores de Lagrange. Definimos a função: L(h,w,λ)=h2w+λ(16h2w2)\mathcal{L}(h, w, \lambda) = h^2 w + \lambda (16 - h^2 - w^2)

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:

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