Math Problem Statement
Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura h e largura w. A rigidez S da viga é diretamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua altura. Quais são as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro? (Sugestão: S = kh2w, em que k > 0 é a constante de proporcionalidade.)
Solution
Para encontrar as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro, vamos usar a relação fornecida de que a rigidez da viga é proporcional à largura e ao quadrado da altura , ou seja, , onde é uma constante de proporcionalidade.
Primeiro, considere que a viga deve ser cortada a partir de um tronco cilíndrico com diâmetro de 4 cm. Isso significa que a seção transversal da viga deve estar inscrita em um círculo de 4 cm de diâmetro.
Como o tronco tem um diâmetro de 4 cm, o raio do círculo é:
Para maximizar a rigidez , precisamos maximizar o produto sob a restrição de que e estão limitados pelo círculo de raio 2 cm.
A seção transversal da viga inscrita no círculo pode ser representada como um retângulo com largura e altura . Se e são os lados do retângulo, a relação geométrica dentro do círculo é: Substituindo : Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
Queremos maximizar , ou seja, maximizar sujeito à restrição .
Para resolver esse problema de otimização, podemos usar a técnica de multiplicadores de Lagrange. Definimos a função:
Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
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