Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura h e largura w. A rigidez S da viga é diretamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua altura. Quais são as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro? (Sugestão: S = kh2w, em que k > 0 é a constante de proporcionalidade.)

Para encontrar as dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro, vamos usar a relação fornecida de que a rigidez \( S \) da viga é proporcional à largura \( w \) e ao quadrado da altura \( h \), ou seja, \( S = k h^2 w \), onde \( k \) é uma constante de proporcionalidade.

Primeiro, considere que a viga deve ser cortada a partir de um tronco cilíndrico com diâmetro de 4 cm. Isso significa que a seção transversal da viga deve estar inscrita em um círculo de 4 cm de diâmetro.

Como o tronco tem um diâmetro de 4 cm, o raio \( r \) do círculo é:
\[ r = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \]

Para maximizar a rigidez \( S \), precisamos maximizar o produto \( h^2 w \) sob a restrição de que \( h \) e \( w \) estão limitados pelo círculo de raio 2 cm.

A seção transversal da viga inscrita no círculo pode ser representada como um retângulo com largura \( w \) e altura \( h \). Se \( h \) e \( w \) são os lados do retângulo, a relação geométrica dentro do círculo é:
\[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 = r^2 \]
Substituindo \( r = 2 \text{ cm} \):
\[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 = 2^2 \]
\[ \frac{h^2}{4} + \frac{w^2}{4} = 4 \]
Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
\[ h^2 + w^2 = 16 \]

Queremos maximizar \( S = k h^2 w \), ou seja, maximizar \( h^2 w \) sujeito à restrição \( h^2 + w^2 = 16 \).

Para resolver esse problema de otimização, podemos usar a técnica de multiplicadores de Lagrange. Definimos a função:
\[ \mathcal{L}(h, w, \lambda) = h^2 w + \lambda (16 - h^2 - w^2) \]

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h} = 2hw - 2h\lambda = 0 \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w} = h^2 - 2w\lambda = 0 \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 16 - h^2 - w^2 = 0
\]

Da primeira equação:
\[ 2hw = 2h\lambda \implies w = \lambda \]

Da segunda equação:
\[ h^2 = 2w\lambda \implies h^2 = 2w^2 \]

Substituímos \( w \) na última equação:
\[ h^2 + w^2 = 16 \]
\[ h^2 + \left(\frac{h^2}{2}\right) = 16 \]
\[ \frac{3h^2}{2} = 16 \]
\[ 3h^2 = 32 \]
\[ h^2 = \frac{32}{3} \]
\[ h = \sqrt{\frac{32}{3}} \]
\[ h = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Para encontrar \( w \):
\[ w = \sqrt{\frac{h^2}{2}} \]
\[ w = \sqrt{\frac{32}{6}} \]
\[ w = \frac{4\sqrt{6}}{6} \]
\[ w = \frac{2\sqrt{6}}{3} \]

Portanto, as dimensões \( h \) e \( w \) da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com 4 cm de diâmetro são aproximadamente:
\[ h = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2.31 \text{ cm} \]
\[ w = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.63 \text{ cm} \]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

1. Qual é a importância da constante de proporcionalidade \( k \) na equação da rigidez?
2. Como se pode verificar se as dimensões \( h \) e \( w \) estão corretas?
3. Quais são as propriedades geométricas da viga que influenciam sua rigidez?
4. Como os limites do tronco influenciam a forma final da viga?
5. Quais seriam as dimensões da viga se o tronco tivesse um diâmetro diferente?
6. Existem outros métodos para maximizar a rigidez de uma viga?
7. Como a técnica de multiplicadores de Lagrange auxilia na resolução de problemas de otimização?
8. Quais são as aplicações práticas dessa análise de rigidez de vigas de madeira?

**Dica:** Ao resolver problemas de otimização, sempre verifique se a solução atende às restrições do problema.

Explore how to maximize the rigidity of a beam cut from a circular trunk with a 4 cm diameter using optimization techniques. Learn about geometric constraints, Lagrange multipliers, and theorems applied in mathematical optimization. Suitable for university-level students and professionals.

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